Question

如图所示，两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，已知小球a和b的质量分别为m、m．细杆长度是球面半径的倍．两球处于平衡状态时，下列说法正确的是

1. A.
   细杆与水平面的夹角θ=30°
2. B.
   杆对a、b球作用力的方向不一定沿杆
3. C.
   杆对a、b球的作用力的大小为mg
4. D.
   半球面对a、b球的弹力之比为

Answer 1

C
分析：以O为转轴，根据力矩平衡条件求解细杆与水平面的夹角θ．由于杆的质量忽略不计，杆所受的小球的两个作用力必定共线方向，则知杆对a、b球作用力的方向一定沿杆．根据数学知识求出杆对a、b球的作用力的大小．对整体研究，根据平衡条件求解半球面对a、b球的弹力之比．
解答：解：由题，细杆长度是球面半径的倍，由几何知识得知，oa⊥ob，α=45°．
A、设球面半径为r，以O为转轴，对整体进行研究，根据平衡条件得：m_agrcos（α+θ）=m_bgcos[90°-（α+θ）]，
又，m_b=m
代入解得θ=15°．故A错误．
B、由于杆的质量忽略不计，重力不计，则由平衡条件得知，杆所受的两个小球的作用力必定共线方向，所以杆对a、b球作用力的方向一定沿杆．故B错误．
C、由图，根据几何知识得β₂=60°，由数学知识得到：=，代入解得，T=．故C正确．
D、两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用，过O作竖直线交ab于c点，设球面的半径为R，由几何关系可得：=，=
解得：F_Na=F_Nb； 故D错误．
故选C
点评：本题也可用隔离法分析小球a、b的受力情况，根据正交分解法分别列平衡方程进行求解，但是求解三角函数方程组时难度很大．故本题采用了水平向上由整体列平衡方程求解的方法．