Question

12．如图所示，水平面上有一质量M=18kg的木板，其右端恰好和$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道AB的底端等高对接，木板右端有一质量m₀=3kg的物体C（可视为质点），已知圆弧轨道半径R=0.9m．现将一质量m=6kg的小滑块P（可视为质点）由轨道顶端A点无初速释放，小滑块滑到B端后冲上木板，并与木板右端的物体C粘在一起，沿木板向左滑行，最后恰好没有从木板左端滑出．已知小滑块p与  木板上表面的动摩擦因数μ₁=0.25，物体c与木板上表面的动摩擦因数μ₂=0.5，木板与水平面间的动摩擦因数μ₃=0.1，取g=10m/s²．求：
（l）小滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
（2）小滑块P与C碰撞结束时共同速度大小；
（3）木板的长度．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求出小滑块P从A点运动到B点时的速度，根据牛顿第二定律求出轨道对它的支持力．
（2）根据动量守恒定律求滑块P与C碰撞结束时共同速度大小．
（3）滑块P和C的共同体滑上木板后，木板做匀加速直线运动，滑块做匀减速直线运动，若两者速度相等时，一起做匀速直线运动．根据系统的动量守恒，求出速度相等时的共同速度，由能量守恒定律对系统研究列式，求出木板的长度l．

解答 解：（1）小滑块P从A端下滑到B端，由机械能守恒得：
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：v₀=3$\sqrt{2}$m/s
在B点，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得轨道对滑块的支持力为：F_N=3 mg=3×6×10=180 N   
（2）滑块P滑上木板后，与木板右侧的物体C发生碰撞，以向左为正方向，设碰撞后共同的速度为v₁，由动量守恒定律得：
  mv₀=（m+m₀）v₁
代入数据得：v₁=2$\sqrt{2}$m/s
（3）对滑块P、物块C以及木板，三者组成的系统，设末速度为v₂，取向左为正方向，
由动量守恒定律有：
（m+m₀）v₁=（m+m₀+M）v₂，
由能的转化和守恒定律得：
   μ₁mgl+μ₂m₀gl=$\frac{1}{2}$（m+m₀）${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$（M+m+m₀）${v}_{2}^{2}$
代入数据得：l=$\frac{8}{7}$m
答：
（1）滑块到达圆弧的B端时，轨道对它的支持力大小为180N．
（2）小滑块P与C碰撞结束时共同速度大小是2$\sqrt{2}$m/s．
（3）木板的长度是$\frac{8}{7}$m．

点评 本题是机械能守恒、牛顿第二定律、动量守恒和能量守恒的综合应用，根据能量守恒定律求解滑块相对木板滑行的距离是常用的方法．