Question

图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为。求离子乙的质量。

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。

Answer 1

（1） 

（2）

           

（3）所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：边上从到点。边上从到。

解析:

本题考查带电粒子在复合场中的运动以及几何知识在处理物理问题中的运用。

（1）由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有

               ①

式中，是离子运动的速度，是平行金属板之间的匀强电场的强度，有

                           ②

由①②式得

 

                     ③

在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动。设离子甲质量为，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有

                                                                 ④

式中，是离子甲做圆周运动的半径。离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为：这半圆刚好与边相切于点，与边交于点。在中，垂直于。由几何关系得

                                                        ⑤

由⑤式得

                                                         ⑥

联立③④⑥式得,离子甲的质量为

            ⑦

（2）同理，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有

                                         ⑧

式中，和分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。离子乙运动的圆周的圆心必在两点之间，由几何关系有

 

   ⑨

             

由⑨式得

                            ⑩

 

                                  

联立③⑧⑩式得，离子乙的质量为_www..com

 

            ⑾

（3）对于最轻的离子，其质量为，由④式知，它在磁场中做半径为的匀速圆周运动。因而与的交点为，有

          ⑿

当这些离子中的离子质量逐渐增大到m时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边变到点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边趋向于点。点到点的距离为

             ⒀

所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：边上从到点。边上从到。

【思维拓展】带电粒子在复合场中的运动是历年高考的重点。这种题型综合力学、电磁学各种知识，从力的角度，可以考查对重力、电场力、磁场力甚至弹力、摩擦力的分析运用；从运动的角度，可以综合考查匀速直线运动、匀变速直线运动，类平抛运动和匀速圆周运动运动；从解题观点上，可以综合运用“力和运动”、“动量与冲量”和“功和能”观点分析解决。解决此类问题的关键是弄清粒子在各运动阶段的受力情况，和所遵循的动力学规律，在磁场中的匀速圆周运动，必须要根据两点（射入点和射出点）画出运动的轨迹，确定好圆心，再通过几何关系求出轨道半径。