Question

如图，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨距为d．空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B．P、M间接有阻值为3R的电阻．Q、N间接有阻值为6R的电阻，质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为R．现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离S时，达到最大速度．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g．求：
（1）金属杆ab运动的最大速度；
（2）金属杆ab运动的加速度为

1

2

gsinθ 时，金属杆ab消耗的电功率；
（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功．

Answer 1

分析：（1）从静止释放ab，ab棒切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，两个定值电阻3R与6R并联，可求得总电阻的表达式．当ab棒匀速运动时，速度达到最大，根据平衡条件和安培力公式，求解金属杆ab运动的最大速度；
（2）金属杆ab运动的加速度为

1

2

gsinθ时，根据牛顿第二定律求得此时金属杆ab运动的速度，得到感应电流，即可求得金属杆ab消耗的电功率；
（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，重力做正功，安培力做负功，根据动能定理求得导体棒ab克服安培力做功．

解答：解：（1）电路中总电阻为R_总=R_并+R=

3R?6R

3R+6R

+R=3R；
   I=

Bdv

R总

=

Bdv

3R

当达到最大速度时，金属棒受力平衡，则有 mgsinθ=BId=

B2d2v

3R

解得，最大速度为v=

3Rmgsinθ

B2d2

（2）金属杆ab运动的加速度为

1

2

gsinθ 时，通过ab的电流为 I′=

Bdv′

R总

=

Bdv′

3R

根据牛顿第二定律F_合=ma，得
 mgsinθ-BI′d=ma，
得到  mgsinθ-

B2d2v′

3R

=

1

2

mgsinθ
解得，v′=

3Rmgsinθ

2B2d2

金属杆ab消耗的电功率P=I′²R=

m2g2sin2θR

4B2d2

（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，根据动能定理
   W_G-W_克安=△E_k
mgSsinθ-W_克安=

1

2

m

9m2g2R2sin2θ

B4d4

解得  W_克安=mgSsinθ-

9m3g2R2sin2θ

2B4d4

答：（1）金属杆ab运动的最大速度是

3Rmgsinθ

B2d2

；
（2）金属杆ab运动的加速度为

1

2

gsinθ 时，金属杆ab消耗的电功率是

m2g2sin2θR

4B2d2

；
（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功为mgSsinθ-

9m3g2R2sin2θ

2B4d4

．

点评：本题是电磁感应中收尾速度问题，分别从力和能量两个角度进行研究．其中安培力的分析和计算是解题的关键步骤．