Question

11．一个半圆柱形玻璃砖，其横截面是半径为R的半圆，AB为半圆的直径，O为圆心，如图所示．一束足够宽的平行光垂直射向玻璃砖的下表面，光线到达上表面后，从该表面射出的光线在玻璃砖横截面上平行AB的宽度只有$\sqrt{2}$R．
（Ⅰ）玻璃的折射率n为多少？
（Ⅱ）一细束光线在O点左侧与O相距$\frac{\sqrt{3}}{2}$R处垂直于AB从下方入射，不考虑AB面的反射光，求此光线从玻璃砖射出点的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$列式，再由几何知识及入射光束在AB上的最大宽度，求解临界角，联立可得折射率．
（Ⅱ）光线射入半圆后，经过三次全反射射出，画出光路图，由几何关系求解．

解答 解：（Ⅰ）设在O点左侧从E点射入的光线，进入玻璃砖后在上表而的入射角恰好等于全反射的临界角θ，则OE区域的入射光线经上表而折射后都能从玻璃砖射出，如图，由全反射条件有

  sinθ=$\frac{1}{n}$　①
由几何关系有 OE=Rsinθ　②
由对称性可知，OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R　③
联立①②③式，代入已知数据得：n=$\sqrt{2}$　　　④
（Ⅱ）设光线在距O点$\frac{\sqrt{3}}{2}$R的C点射入后，在上表面的入射角为α，由几何关系及①式和已知条件得：
  α=60°＞θ　　⑤

光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由G点射出，如图，由反射定律和几何关系得：
   OG=OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R　⑥
射到G点的光有一部分被反射，沿原路返回到达C点射出．
答：
（Ⅰ）玻璃的折射率n为$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）此光线从玻璃砖射出点的位置在O点右侧$\frac{\sqrt{3}}{2}$R处．

点评 本题考查了全反射定律以及反射定律的应用，正确作出光路图，灵活运用几何知识求解是关键．