Question

19．已知地球绕太阳公转的轨道半径为r，周期为t，哈雷彗星绕太阳转动一周的时间为T，设哈雷彗星的彗核到太阳的最近距离为R₁，求它到太阳的最远距离R₂，若T=76t，并设R₁=$\frac{1}{2}r$，则R₂的估算结果是多少（用地球公转轨道半径r表示）？

Answer 1

分析 根据开普勒周期定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=k$，k是与行星本身无关的常量，对于圆周运动r为轨道半径，对于椭圆运动，r为半长轴，根据题目数据列方程化简即可．

解答 解：根据开普勒周期定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=k$可知：
$\frac{{r}^{3}}{{t}^{2}}=\frac{（\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{2}）^{3}}{{T}^{2}}$
解得：R₂=$2\root{3}{（\frac{T}{t}）^{2}}r-{R}_{1}$
又因为T=76t，R₁=$\frac{1}{2}r$，
解得：R₂=$2×\root{3}{7{6}^{2}}r-0.5r$=35.4r
答：R₂的估算结果是35.4r．

点评 本题关键是要掌握开普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=k$，要理解公式中各个量的含义，特别是要知道对于圆周运动r为轨道半径，对于椭圆运动，r为半长轴．