Question

（2010?闵行区二模）如图所示，小球沿水平面以初速v₀通过O点进入半径为R的竖直半圆弧轨道，不计一切阻力．下列说法正确的是（　　）

• A．小球进入竖直半圆弧轨道后做匀速圆周运动
• B．若小球能通过半圆弧最高点P，则小球运动到P时向心力恰好为零
• C．若小球恰能通过半圆弧最高点P，则小球落地点时的动能为

  5mgR

  2

• D．若小球恰能通过半圆弧最高点P，则小球落地点离O点的水平距离为2R

Answer 1

分析：小球进入轨道之后，只有重力做功，所以小球的机械能守恒，当恰好能通过最高点时，小球的重力恰好作为向心力，根据向心力的公式可以分析小球的速度的大小，进而可以求得落得动能，离开轨道之后小球做的是平抛运动，由平抛运动的规律可以求得水平方向的位移的大小．

解答：解：A、小球进入竖直半圆弧轨道后做圆周运动运动，但不是匀速圆周运动，由于在上升的过程中，小球的重力要做功，小球的速度的大小在变化，所以不是匀速直线运动，所以A错误．
B、小球在轨道内侧做圆周运动，属于绳的模型，在最高点的最小的速度应该是重力恰好作为小球的向心力，向心力不是零，所以B错误．
C、小球恰能通过半圆弧最高点P，此时的重力恰好作为向心力，由mg=m

V 2 P

R

，小球从P点到落地的过程中，机械能守恒，所以mg2R+

1

2

m

V

2 P

=

1

2

mV²，由以上两个等式可以求得小球落地点时的动能为

5mgR

2

，所以C正确．
D、小球离开P后做平抛运动，根据平抛运动的规律可得，
水平方向上：x=V_Pt    
竖直方向上：2R=

1

2

gt²      
并且有 mg=m

V 2 P

R

，
联立可以解得x=2R，所以D正确．
故选CD．

点评：本题属于圆周运动中的绳的模型，刚好能过最高点的条件是球的重力恰好作为向心力，离开轨道之后小球做的是平抛运动．