Question

图示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B 两端相距3m ，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ=" 37°," C、D 两端相距4.45m , B、C 相距很近。水平部分AB 以5m/s的速率顺时针转动。将质量为10 kg 的一袋大米放在A 端，到达B 端后，速度大小不变地传到倾斜的CD 部分，米袋与传送带间的动摩擦因数均为0.5。试求：
(1)若CD 部分传送带不运转，求米袋沿传送带所能上升的最大距离。
(2)若要米袋能被送到D 端，求CD 部分顺时针运转的速度应满足的条件及米袋从C 端到D 端所用时间的取值范围。(g=10m/s² ,sin37°="0.6" , cos37°=0.8）

Answer 1

（1）1.25m
（2）1.16s≤t≤2.1s

⑴米袋在AB上加速时的加速度：
a₀=μmg/m=μg=5m/s²①
米袋的速度达到v₀=5m/s/时运动的距离：
s₀=v₀²/2a₀=2.5m<3m②
因此米袋在达到B点之前就与传送带具有了相同的速度：
设米袋在CD上运动的加速度大小为a,上升的最大距离为s_max，由牛顿第二定律得：
a=(mgsinθ+μmgcosθ）/m=10m/s²③
由运动学公式：
s_max=v₀²/(2a)=1.25m④
⑵设CD部分运转速度为v₁(v₁<5m/s)时米袋恰能到达D点(即米袋到达D点时速度恰好为零)，则米袋速度减为v₁之前的加速度大小为：
a₁=(mgsinθ+μmgcosθ）/m=10m/s²⑤
米袋速度达到至减为零前的加速度大小为：
a₂=(mgsinθ-μmgcosθ）/m=2m/s²⑥
由运动学公式：
(v₀²-v₁²)/(2a₁)+v₁²/(2a₂)=4.45⑦  
解得v₁=4m/s，即要把米袋送到D点，CD部分的速度V_CD≥v₁=4m/s⑧  
米袋恰能运到D点所用时间最长为：
t_max=(v₀-v₁)/a₁+v₁/a₂=2.1s⑨  
若CD部分传送带的速度很大，使米袋沿CD上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，则所用时间最短，此种情况米袋加速度一直为a₂。
由S_CD=v₀t_min-a₂t_min²/2⑩ 
解得t_min=1.16s（用带根式的答案也可）⑾ 
所以，所求的时间t的范围为1.16s≤t≤2.1s⑿