Question

13．宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统，这些系统一般离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．四星系统通常有两种构成形式：一是三颗星绕另一颗中心星运动（三绕一），二是四颗星稳定地分布正方形的四个顶点上运动．若每个星体的质量均为m，引力常量为G，若相邻星球的最小距离为a，求两种构成形式下天体运动的周期之比．

Answer 1

分析 确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源．
在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，
根据F_合=mr（$\frac{2π}{T}$）²，求出星体匀速圆周运动的周期．

解答 解：三颗星绕另一颗中心星运动时，其中任意一个绕行星球受到另三个星球的万有引力的合力提供向心力，三个绕行星球的向心力一定指向同一点，且中心星受力平衡，由于星球质量相等，具有对称关系，因此向心力一定指向中心星，绕行星一定分布在以中心星为重心的等边三角形的三个顶点上．
对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a，所受合力等于向心力，因此有
$2•G\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{3}a）^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}a}{{{T}_{1}}^{2}}$…①
解得${{T}_{1}}^{2}=\frac{2（3-\sqrt{3}）{π}^{2}{a}^{3}}{GM}$…②
对正方形模式，四星的轨道半径均为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，同理有
$2•G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}cos45°+G\frac{{m}^{2}}{{（\sqrt{2}a）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}a$…③
解得${T}_{2}^{2}=\frac{4（4+\sqrt{2}）{π}^{2}{a}^{3}}{7GM}$…④
故$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）（3-\sqrt{3}）}{4}}$
答：两种构成形式下天体运动的周期之比为$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）（3-\sqrt{3}）}{4}}$．

点评 知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．
万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析