Question

半径为R的半圆形光滑轨道竖直放置，与粗糙水平轨道相接于最低点，水平轨道的最右端有一竖直挡板．今有一质量为m的小球从轨道最高点水平飞入轨道，飞入时对轨道的压力3mg．已知小球与水平轨道间的动摩擦因素为μ．
（1）求小球第一次过半圆轨道最低点时对轨道压力的大小？
（2）小球第一次与挡板发生碰撞（碰撞过程中无机械能损失）后，恰能返回半圆轨道最高点，求水平轨道的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）、此题要找到几个状态，一是第一次经过最高点，二是第一次经过最低点，三是第二次经过最高点，对这三个状态进行分析．第一次经过最高点时，小球的重力和轨道最小球的支持力提供向心力，由向心力公式可求出此时的速度，由最高点到第一次经过最低点的过程中机械能守恒．应用能量关系求出速度v₁，由向心力求出轨道对小球的支持力，再由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力．
（2）、第二次回到最高点时，重力提供向心力，求出此时的速度v₂，整个过程除重力做功外，还有摩擦力做功，由能量的转化和守恒可求出水平轨道的长度．
解答：解：
（1）、小球飞入轨道时的速度为v，第一次过最低点的速度为v₁，受到的支持力为N₁，则由圆周运动规律、机械能守恒定律得：
小球在最高点时：…①
小球在最低点时：…②
…③
联立以上各式并代入数据得：N₁=9mg
由牛顿第三定律得小球第一次过最低点时对轨道的压力：N₁′=N₁=9mg
（2）、由圆周运动规律、动能定理得：
恰能回到最高点时，有：…④
…⑤
联立以上各式解得：
答：（1）求小球第一次过半圆轨道最低点时对轨道压力为9mg．
（2）水平轨道的长度为．
点评：小球在竖直平面内的圆形轨道内运动时，经过最高点的条件是速度，当速度为时，对轨道没有压力，此时只有重力提供向心力．
在解答第一问时，由求得的N₁是小球受到的支持力，问的是小球对管道的压力，此处一定要用牛顿第三定律．