Question

如图所示，在空间存在这样一个磁场区域，以MN为界，上部分的匀强磁场的磁感应强度为B₁，下部分的匀强磁场的磁感应强度为B₂，B₁=2B₂=2B₀，方向均垂直纸面如图所示，且磁场区域足够大．在距离界线为h的某点有一带负电荷的A离子与一不带电的粒子B同时以某一速度以平行于界线MN的速度向右运动．粒子A质量为m，带电荷q，经过界线MN时的速度方向与界线成60°角进入下部分磁场．当粒子B沿与界线平行的直线到达位置Q点时（Q点在图中没有标出），恰好又与粒子A第一次相遇．不计A、B粒子的重力．求：
（1）P、Q两点间距离．
（2）粒子B运动的速度大小．

Answer 1

分析：（1）画出在磁场中运动轨迹，由几何知识求出轨迹的半径，根据轨迹的对称性，由几何知识求出PQ间的距离．
（2）分析轨迹所对应的圆心角，得到时间与周期的关系，即可求解粒子A从P点到Q点的时间．由运动学的公式求解粒子B运动的速度大小；

解答：解：（1）粒子A的轨迹如图，粒子A在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，设粒子A的速度为v₀，在MN上方运动半径为R₁，运动周期为T₁，
根据牛顿第二定律和圆周运动公式有：
qv0B1=m

v 2 0

R1

，
解得：R1=

mv0

qB1

=

mv0

2qB1

，
T1=

2πR1

v0

=

πm

qB0

，
同理．粒子A在MN下方运动半径R₂和周期T₂分别为
R₂=

mv0

qB2

=

mv0

qB0

=2R1； 
T₂=

2πm

qB0

粒子A由P点运动到MN边界时与MN的夹角为60°，则有：
R₁-h=R₁cos60°  
得到：R₁=2h，R₂=4h．
PQ间的距离为：d=2R₂sin60°+2R₁sin60°=6

3

h
（2）粒子A从P点到Q点所用时间为t=

1

3

T1+

1

3

T2=

1

3

πm

qB0

+

1

3

?

2πm

qB0

=

πm

qB0

则粒子B的从P点到Q点速度为 v=

d

t

=

6 3 hqB0

πm

答：（1）P、Q两点间距离为6

3

h．
（2）粒子B运动的速度大小为

6 3 hqB0

πm

．

点评：本题是有新颖的情景，实质是带电粒子在磁场中运动的类型，画出轨迹，根据轨迹的对称性，由几何知识求出轨迹的半径是解决本题的关键．