Question

（2006?广州模拟）如图所示，在空间存在这样一个磁场区域：以MN为界，上部分的匀强磁场的磁感应强度为B₁，下部分的匀强磁场的磁感应强度为B₂，B₁=2B₂=2B₀，方向均垂直纸面向里，且磁场区域足够大．在距离界线为h的P点有一带负电荷的离子处于静止状态，某时刻离子分解成为带电粒子A和不带电粒子B，粒子A质量为m、带电荷q，以平行于界线MN的初速度向右运动，经过界线MN时速度方向与界线成60°角，进入下部分磁场．当粒子B沿与界线平行的直线到达位置Q点时，恰好又与粒子A相遇．不计粒子的重力．求：
（1）P、Q两点间距离．
（2）粒子B的质量．

Answer 1

分析：（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律及向心力公式可求得半径及周期，再由几何关系即可解得P、Q间的距离；
（2）由A的运动过程可求得A从P到Q所经历的时间，再由运动学公式可求得B的运动速度；由半径公式可求得A的速度；由动量守恒即可求得粒子B的质量．

解答：解：
（1）粒子A在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，设粒子A的速度为v₀，在MN上方运动半径为R₁，运动周期为T₁，
根据牛顿第二定律和圆周运动公式，qv0B1=m

v 2 0

R1

 ①
解得  R1=

mv0

qB1

=

mv0

2qB0

 ②
T1=

2πR1

v0

=

πm

qB0

 ③
同理，粒子A在MN下方运动半径R₂和周期T₂分别为
R₂=

mv0

qB2

=

mv0

qB0

=2R1 ④
T₂=

2πm

qB0

 ⑤
粒子A由P点运动到MN边界时速度与MN的夹角为60°，如图所示，则有

R₁-h=R₁cos60°，得到：R₁=2h  
R₂=4h  
间的距离为   PQ=2R₂sin60°-2R₁sin60°=2

3

h ⑥
（2）粒子A从P点到Q点所用时间为t=

2

6

T1+

2

3

T2=

1

3

πm

qB0

+

2

3

?

2πm

qB0

=

5πm

3qB0

 ⑦
设粒子B的质量为M，从P点到Q点速度为v=

PQ

t

=

6 3 hqB0

5πm

 ⑧
由 R1=2h=

mv0

2qB0

  ⑨
得到   mv₀=4qB₀h     ⑩
根据动量守恒定律 mv₀-Mv=0 
解得：M=

10 3 π

9

m
答：（1）PQ两点间的距离为2

3

h；（2）粒子B的质量为

10 3 π

9

m．

点评：解决带电粒子在磁场中的运动时，关键在于能够找出圆心和半径，同时能正确利用几何关系进行分析求解．