Question

9．如图所示，以v₀的初速度水平抛出一物体，飞行一段时间t后，到达B点，已知重力加速度g．
（1）求物体到达B点时的速度大小v_B，以及v_B和水平方向之间的夹角的正切．
（2）请你证明：平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离等于水平位移的一半．即L_AC=$\frac{{L}_{AO}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）物体做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，由时间和加速度g求出到达B点时的竖直分速度，与水平分速度合成，从而得到v_B．
（2）根据速度和水平方向夹角的正值与位移和水平方向夹角的正切之比结合，可进行证明．

解答 解：（1）物体做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，到B时水平分速度问问：v_x=v₀．
在竖直方向上做自由落体运动，到B时竖直分速度为：v_y=gt．
则有：v_B=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{g}^{2}{t}^{2}}$
合速度v_B与x轴之间的夹角正值，有：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$
（2）证明：
竖直分位移为：L_AB=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
由数学知识得：L_AC=$\frac{{L}_{AB}}{tanθ}$=$\frac{\frac{{v}_{y}}{2}t}{\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}}$=$\frac{{v}_{x}t}{2}$=$\frac{1}{2}$L_AO．
得证．
答：（1）v_B大小为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{g}^{2}{t}^{2}}$，水平方向之间的夹角的正切是$\frac{gt}{{v}_{0}}$．
（2）证明见上．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．知道分运动和合运动具有等时性，掌握竖直方向和水平方向上的运动学公式．