Question

13．如图所示，竖直光滑的固定杆子上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物块C，C静止在地面上．开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当A、B速度达到最大时，C也刚好同时离开地面（此时B还没有到达滑轮位置）．已知：m_A=1.2kg，m_B=m_C=1.0kg，滑轮与杆子的水平距离L=0.8m，g取10m/s²．试求：
（1）A下降多大距离时速度最大？
（2）弹簧的劲度系数k；
（3）A的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）当A速度达到最大时，加速度等于0，此时C刚好同时离开地面，那么对B和C整体可求出绳子拉力，根据几何关系求得B上升高度，求出A下降的高度．
（2）B上升的高度等于开始与此时弹簧形变量之和，由胡克定律求解弹簧的劲度系数．
（3）对于物体A、B、C以及弹簧组成系统，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，根据机械能守恒定律和两物体的速度关系列式求解即可．

解答 解：（1）如图所示，设A下降h时速度达最大，此时绳与杆夹角为θ，
绳中张力为T．因为A物块速度达到最大，故加速度为零，即受力平衡，
有  m_Ag=Tcosθ，

此时C刚好离开地面，故 T=（m_B+m_C）g=20N，
解得cosθ=0.6，即θ=53°，
所以 h=$\frac{L}{tanθ}$=$\frac{0.8}{tan53°}$=0.6m．
（2）开始时绳中无张力，对B分析，有m_Bg=kx₁，
C离开地面时，有 m_Cg=kx₂，
又 x₁+x₂=$\frac{L}{sinθ}$-L
可解得 k=100N/m．
（3）由（2）知，x₁=x₂=0.1m，故初、末状态弹簧的弹性势能相等，
对A、B、C及弹簧系统由机械能守恒定律有
  m_Ag h-m_B g （x₁+x₂）=$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
又 v_B=v_Acosθ
联立可解得 v_A=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$m/s．
答：
（1）A下降0.6m时速度最大；
（2）弹簧的劲度系数为100N/m．
（3）A的最大速度是$\frac{2\sqrt{15}}{3}$m/s．

点评 本题关键分析清楚物体的运动规律，明确A的速度最大的条件：合力为零，知道两个物体沿绳子方向的分速度大小相等，然后根据平衡条件和机械能守恒定律以及胡克定律列式研究．