Question

宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小得很多，飞行器的速率为，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍．有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：Ⅰ. 当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；Ⅱ. 飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ. 小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰，不计燃烧的燃料质量．
    1．试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系；
    2．设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为．如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时，飞行器从发动机取得的能量的最小值用表示，问为多少?

Answer 1

1．设太阳的质量为，飞行器的质量为，飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为．根据所设计的方案，可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的，该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切．要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短的时间内，由变为某一值．设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为，因大小为和的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律可得

                                                      （1）

由能量关系，有

                                     （2）

由牛顿万有引力定律，有

               

或

                                                         （3）

解（1）、（2）、（3）三式得

                                                          （4）

                                                           （5）

设小行星绕太阳运动的速度为，小行星的质量，由牛顿万有引力定律

                

得

                                                    （6）

可以看出                                                       （7）

由此可见，只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道处时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击．可以把小行星看做是相对静止的，飞行器以相对速度为射向小行星，由于小行星的质量比飞行器的质量大得多，碰撞后，飞行器以同样的速率弹回，即碰撞后，飞行器相对小行星的速度的大小为，方向与小行星的速度的方向相同，故飞行器相对太阳的速度为

               

或将（5）、（6）式代入得

                                                  （8）

如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系，它应具有的最小速度为，则有

               

得

                                                  （9）

可以看出

                                     （10）

飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系．

2. 为使飞行器能进入椭圆轨道，发动机应使飞行器的速度由增加到，飞行器从发动机取得的能量

                     （11）

若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系，飞行器应具有的最小速度为，则有

               

由此得

                                                 （12）

飞行器的速度由增加到，应从发动机获取的能量为

                            （13）

所以

                                   （14）

评分标准：本题25分

1. 18分。其中（5）式6分，求得（6）式，说明飞行器能被小行星碰撞给3分；（8）式5分；得到（10）式，说明飞行器被小行星碰撞后能飞出太阳系给4分。

2. 7分。其中（11）式3分，（13）式3分，求得（14）式再给1分。