Question

如图复16-6所示，轴竖直向上，平面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在处放一带电量为的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端穿过位于坐标原点的光滑小孔，可通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直与轴，与轴夹角为（如图复16-6所示）。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为,且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的端只准沿轴向下缓慢移动，不得沿轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。

Answer 1

设所加匀强电场的场强为，它在方向和方向的分量分别为， 。

由于物块带负电，电场作用于物块的电力的两个分量分别为

                                 （1）

                                （2）

在平面内，方向沿轴正方向．垂直于平面，被绝缘平面的支持力所平衡，故物块对绝缘平面的正压力的大小和的大小相等，即

          

绝缘平面作用于物块的摩擦力

                  （3）

的方向决定于物块移动的方向．

根据题意，物块在平面内的运动可看做是一种在力平衡下的缓慢移动．作用于物块的三个力、和线的拉力都在平面内．物块在任一位置达到平衡时的受力情况如图预解16-6所示。为细线与轴的夹角。把沿和方向分解得

               

用和表示的两个分量，物块平衡时，有

               （4）

                  （5）

由（4）、（5）式得

注意到（3）式，得

得              或                                （6）

因要小物块缓慢移动，需要细线牵引，不符合题意，应舍去．因，，将代入（4）、（5）式，

有

 

摩擦力方向的斜率

                                      （7）

是摩擦力方向与轴夹角的正切，即摩擦力方向的斜率，因摩擦力始终沿轨道的切线方向，故也就是轨道切线的斜率．下面，通过对（7）式的分析来寻找轨道方程．

当中一0，k－co即在起点A时，轨道的切线与x轴垂直

当，，即在起点时，轨道的切线与轴垂直。

当，，一种情况是小物块运动到轴上后，沿轴做直线运动到点，但这与题设轨迹移动是一条二次曲线不符，因而它一定表示轨道在点的切线与轴垂直．

在二次曲线中，曲线上两点切线相互平行的只有椭圆或圆．又因为、两点的切线与它们的连线相垂直，这连线应为曲线的轴线，且在轴上，另一轴在它的垂直平分线上且与轴平行。曲线与此轴线的交点的切线的斜率为0.代入（7）式得，故该曲线为圆，其方程为

                                             （8）