Question

三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d?a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：
（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向，
（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆顶端所受作用力的大小和方向又如何？

Answer 1

三木杆组成一个正四面体，已知正四面体边长a，高三木杆h=

6

3

a，
设杆与底面的夹角β，则cosβ=

3

3

，sinβ=

6

3

，
设BC的中垂线与底面的夹角是α，则sinα=

2 2

3

，cosα=

1

3

．
（1）以A杆为研究对象，A杆受力如图一所示．
A杆与地面的接触点为支点，杆所受重力G的力臂L_重=

α

2

cosβ=

3

6

a，
杆顶端所受力F的力臂，L_F=asinβ=

6

3

a，由杠杆平衡条件，
得：GL_重=FL_F，即：G×

3

6

a=F×

6

3

a，F=

2

4

G，方向水平向左．
（2）以A杆为研究对象，受力如图所示．由于人处于静止状态，
所以人对杆的压力F_压力摩擦力f'大小等于人的重力G，方向竖直向下，
人对杆的作用力力臂L_人=

α

2

cosβ=

3

6

a，
BC杆所组成面对杆的作用力F_N，力臂等于四面体的高h，
L_FN=h=

6

3

a，由杠杆的平衡条件得：GL_人+GL_重=FL_F+F_NL_FN，
即G×

3

6

a+G×

3

6

a=F×

6

3

a+F_N×

6

3

a，解得：F_N=

2

4

G，
A杆顶端所受作用力的大小：
F_合=

F2+FN2+2FFNcosα

=

( 2 4 G)2+( 2 4 G)2+× 2 4 G× 2 4 G× 1 3

=

3

3

G，
方向斜向右上方，如图所示．
答：（1）A杆顶端所受作用力的大小为F=

2

4

G，方向水平向左．
（2）A杆顶端所受作用力的大小为

3

3

G，方向斜向右上方，如图所示．