Question

如图所示，x轴的上方存在方向与x轴成45°角的匀强电场，电场强度为E，x轴的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T．有一个质量m=10^-11kg，电荷量q=10^-7C的带正电粒子，该粒子的初速度v₀=2×10³m/s，从坐标原点O沿与x轴成45°角的方向进入匀强磁场，经过磁场和电场的作用，粒子从O点出发后第四次经过x轴时刚好又回到O点处，设电场和磁场的区域足够宽，不计粒子重力，求：
①带电粒子第一次经过x轴时的横坐标是多少？
②电场强度E的大小及带电粒子从O点出发到再次回到O点所用的时间．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中受洛伦兹力作用下做一段圆弧后第一次经过x轴，根据洛伦兹力提供向心力公式求出半径，再根据几何关系求出坐标；
（2）然后进入电场中，恰好做匀减速运动直到速度为零后又返回，以相同速率再次进入磁场仍在洛伦兹力作用下又做一段圆弧后，再次进入电场正好做类平抛运动．粒子在磁场中两次运动刚好完成一个周期，由粒子在电场中的类平抛运动，根据垂直电场方向位移与速度关系，沿电场方向位移与时间关系，结合牛顿第二定律求出E，三个过程的总时间即为总时间．

解答：解：
①粒子在磁场中受磁场力的作用沿圆弧运动，洛仑兹力提供向心力，qvB=m

v2

R

，
半径R=

mv

Bq

=0.4m，
根据圆的对称性可得粒子在磁场中第一次偏转所对的圆心角为90°，
则第一次经过x轴时的横坐标为x1=

2

R=0.4

2

m≈0.57m
②第一次进入电场，运动方向与电场方向相反，做匀减速直线运动，速度减为零后又反向加速返回磁场，在磁场中沿圆周运动，再次进入电场时速度方向刚好垂直电场方向，在电场力的作用下偏转，打在坐标原点O处，其运动轨迹如图所示．

由几何关系可得，第二次进入电场中的位移为2

2

R，
在垂直电场方向的位移s₁=vt₁，
运动时间t1=

s1

v

=

2R

v

=4×10-4s
在沿电场方向上的位移s2=

1

2

a

t

2 1

，
又因s₂=2R
得a=

2s2

t 2 1

=1×107m/s2
根据牛顿第二定律a=

Eq

m

所以电场强度E=

ma

q

=1×103V/m
粒子从第一次进入电场到再返回磁场的时间t2=

2v

a

=4×10-4s，
粒子在磁场中两段运动的时间之和刚好是做一个完整圆周运动的周期T=

2πm

Bq

=4π×10-4s
所以粒子从出发到再回到原点的时间为t=t1+t2+T≈2.1×10-3s
答：①带电粒子第一次经过x轴时的横坐标是0.57m；
②电场强度E的大小为1×10³V/m，带电粒子从O点出发到再次回到O点所用的时间为2.1×10^-3s．

点评：本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．