Question

13．如图所示，A、B两航天器分别沿轨道1和轨道2绕地球做圆周运动，O为地心，在A、B运动过程中，测得AB连线与OB连线的最大夹角为θ，则两航天器运行的周期之比$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$为（　　）

• A． $\sqrt{co{s}^{2}θ}$
• B． $\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}θ}}$
• C． $\sqrt{si{n}^{3}θ}$
• D． $\sqrt{\frac{1}{si{n}^{2}θ}}$

Answer 1

分析 AB连线与OB连线的最大夹角为θ，结合几何关系得到两个航天器的轨道半径之比；然后结合开普勒第三定律列式求解即可．

解答 解：当A与B的连线与BO连线的最大夹角为θ时，根据三角形的边角关系可知：sinθ=$\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}$；

根据开普勒第三定律，有：$\frac{{r}_{A}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{B}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$；
联立解得：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{si{n}^{3}θ}$，故C正确，ABD错误；
故选：C

点评 本题关键是根据几何关系得到两个航天器的轨道半径关系，然后结合开普勒第三定律列式分析即可．