Question

2008年春节前后，我国南方部分地区遭遇了罕见的雪灾，此次雪灾造成输电线被厚厚的冰层包裹，使相邻两个铁塔间的拉力大大增加，导致电力设施被严重损毁．
设想若干个相同铁塔等高、等距，其结构模型如图所示．已知铁塔（左右对称）质量为m，塔基宽度为d．相邻铁塔间输电线的长度为L，其单位长度的质量为m_o，输电线顶端的切线与竖直方向成θ角．已知冰的密度为ρ，设冰层均匀包裹在输电线上，且冰层的横截面为圆形，半径为R（输电线的半径可忽略）．



（1）被冰层包裹后，每个铁塔塔尖所受的压力将比原来增大多少？
（2）被冰层包裹后，输电线在最高点、最低点所受的拉力大小分别为多少？
（3）若某铁塔一侧的输电线在顶端断裂，该铁塔由于受力不对称，会造成该塔以塔基另一侧与地面的接触点为轴旋转翻倒．已知地面对塔基的最大拉力为F（该力可简化为作用点位于塔基中心、方向竖直向下的拉力），忽略包裹铁塔的冰雪，要使铁塔不致翻倒，输电线上包裹的冰层半径R的最大值R_max为多少？

Answer 1

（1）输电线线冰层的体积V_冰=πR²L
由对称关系可知，塔尖所受压力的增加值等于一根导线上冰层的重力，即
△N=ρgV_冰=ρgπR²L
（2）输电线与冰层的总质量M'=m₀L+πρR²Lg，输电线受力如图甲所示．



由共点力的平衡条件，得2F₁cosθ=m₀Lg+πρR²Lg
输电线在最高点所受的拉力F1=

m0+πρR2

2cosθ

gL
半根输电线的受力如图乙所示．
由共点力的平衡条件，得F₂=F₁sinθ
输电线在最低点所受的拉力F2=F1sinθ=

m0+πρR2

2

?gLtanθ
（3）对铁塔而言，假设恰好转动，根据力矩平衡条件，有：
mg?

d

2

=F₁?Hcosθ
将F₁代入解得：R =

[ (mg+F)d gL(Htanθ-d/2) -m0]? 1 πρ

答：（1）被冰层包裹后，每个铁塔塔尖所受的压力将比原来增大ρgπR²L；
（2）被冰层包裹后，输电线在最高点所受的拉力大小为

m0+πρR2

2cosθ

gL，最低点所受的拉力大小为

m0+πρR2

2

?gLtanθ；
（3）要使铁塔不致翻倒，输电线上包裹的冰层半径R的最大值R_max为

[ (mg+F)d gL(Htanθ-d/2) -m0]? 1 πρ

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