Question

15．河宽L=300m，水流速v₁=2m/s，船在静水中的速度v₂=5m/s，求：
（1）以最短时间过河，船的航行时间
（2）以最短位移过河，船的航行时间
（3）当船身与上游河岸成53°时，船的航行时间及航行位移．

Answer 1

分析 船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸．

解答 解：（1）当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为：
t=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{300}{5}$=60s．
（2）小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸，那么船垂直河岸行驶的速度为：
v=$\sqrt{{5}^{2}-{2}^{2}}$m/s=$\sqrt{21}$m/s；
所以渡河时间为：
t′=$\frac{300}{\sqrt{21}}$s=$\frac{100\sqrt{21}}{7}$s；
（3）当船身与上游河岸成53°时，船的航行时间为：
t″=$\frac{d}{vsin53°}$=$\frac{300}{\sqrt{21}×0.8}$=$\frac{125\sqrt{21}}{7}$s；
航行位移s′=vt″=$\sqrt{21}×\frac{125\sqrt{21}}{7}$=375m；
答：（1）以最短时间过河，船的航行时间60s；
（2）以最短位移过河，船的航行时间$\frac{100\sqrt{21}}{7}$s．
（3）当船身与上游河岸成53°时，船的航行时间$\frac{125\sqrt{21}}{7}$s及航行位移375m；

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．