Question

20．边长为L，电阻为R的单匝正方形线圈abcd，在磁感应强度为B的匀强磁场中，以cd边为转轴匀速转动，其角速度为ω，转动方向如图所示，cd边与磁场方向垂直．求：
（1）线圈从图示位置转过$\frac{π}{2}$的过程中，产生的热量Q
（2）线圈从图示位置转过$\frac{π}{2}$的过程中，通过导线截面的电荷量q
（3）ts内外界驱动线圈转动所做的功．

Answer 1

分析 （1）求出感应电动势的有效值，再结合焦耳定律，然后求出R上产生的热量．
（2）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由电流定义式求出电荷量；
（3）根据能量转化与守恒，结合焦耳定律，则可求解．

解答 解：（1）线圈转动过程中，感应电动势的最大值ε_max=BL²ω，
有效值ε=$\frac{{{ε_{max}}}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{B{L^2}ω}}{{\sqrt{2}}}$，
感应电流I=$\frac{ε}{R}$=$\frac{{B{L^2}ω}}{{\sqrt{2}R}}$．
线圈转过所用的时间t=$\frac{{\frac{π}{2}}}{ω}$=$\frac{π}{2ω}$．
据焦耳定律，产生的热量Q=I²Rt=${（\frac{{B{L^2}ω}}{{\sqrt{2}R}}）^2}$•R•$\frac{π}{2ω}$=$\frac{{π{B^2}{L^4}ω}}{4R}$．
（2）线圈转过$\frac{π}{2}$的过程中感应电动势的平均值$\bar ε$=$\frac{△?}{△t}$=$\frac{{B{L^2}}}{{\frac{π}{2ω}}}$=$\frac{{2B{L^2}ω}}{π}$．
感应电流的平均值$\overline{I}=\frac{\bar ε}{R}=\frac{{2B{L^2}ω}}{πR}$．
通过导线截面电量q=$\bar I$△t=$\frac{{2B{L^2}ω}}{πR}•\frac{π}{2ω}$=$\frac{{B{L^2}}}{R}$
（3）由于线圈中产生的是交流电，则反抗线圈转动的磁力矩是变化的，
所以作用在线圈上的驱动力也是变化的，不能用功的公式计算外界所做的功，
从能的转化和守恒的角度来分析，外界驱动线圈转动消耗的能量将全部转化为电能，
再转化为电路的焦耳热，据（1）可得
W=Q=I²Rt=（$\frac{{B{L^2}ω}}{{\sqrt{2}R}}$）²Rt=$\frac{{{B^2}{L^4}{ω^2}t}}{2R}$
答：（1）线圈从图示位置转过$\frac{π}{2}$的过程中，产生的热量$\frac{{π{B^2}{L^4}ω}}{4R}$；
（2）线圈从图示位置转过$\frac{π}{2}$的过程中，通过导线截面的电荷量$\frac{{B{L^2}}}{R}$；
（3）ts内外界驱动线圈转动所做的功$\frac{{{B^2}{L^4}{ω^2}t}}{2R}$．

点评 本题考查了求电荷量、电阻产生的热量，分析清楚线框的运动过程、应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电流定义式、焦耳定律即可正确解题．