Question

10．如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为m的质点P，与穿过中央小孔O的轻绳一端相连着．平板与小孔都是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为a、角速度为ω₀的匀速圆周运动．若绳子突然放松至某一长度b而立即被拉紧，质点就能在半径为b的圆周上做匀速圆周运动，求质点由半径a到半径b所需的时间及质点在半径为b的圆周上运动的角速度．

Answer 1

分析 （1）绳子放开后，质点沿切线方向飞出，做匀速直线运动，结合几何关系，可求运动时间；
（2）绳子放开后，质点沿切线方向飞出，做匀速直线运动，到绳子突然张紧时，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，由牛顿第二定律和线速度与角速度的关系公式可求出角速度的大小．

解答 解：（1）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，由几何关系，位移为：x=$\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}$，
线速度为：v=ω₀a；
故放开过程的时间为：t=$\frac{x}{v}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}{{ω}_{0}a}$．
（2）小球沿圆弧切线方向飞出后，到达b轨道时，绳子突然张紧，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，由几何关系得到，由v_b=vsinθ=$\frac{a}{b}$=$\frac{{a}^{2}{ω}_{0}}{b}$，则角速度ω=$\frac{{v}_{b}}{b}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{ω}_{0}$；
答：质点由半径a到半径b所需的时间为$\frac{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}{{ω}_{0}a}$．
质点在半径为b的圆周上运动的角速度为$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{ω}_{0}$．

点评 解决本题的关键知道松手后，小球沿切线方向飞出，绷紧后，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动．