Question

19．我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，“嫦娥1号”探月卫星也已发射．设想嫦娥1号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，飞船发射的月球车在月球软着陆后，自动机器人在月球表面上沿竖直方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀．求：
（1）月球表面的重力加速度
（2）月球的密度
（3）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据竖直上抛运动的特点，求出月球表面的重力加速度；
（2）根据万有引力等于重力 $\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，结合体积、密度与质量的关系即可求出；
（3）根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}$求出月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）根据竖直上抛运动的特点可知：${v}_{0}-\frac{1}{2}gt=0$…①
所以：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$
（2）设月球的半径为R，月球的质量为M，则：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg…②
体积与质量的关系：M=ρV=$\frac{4}{3}π{R}^{3}•ρ$ …③
联立得：ρ=$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$
（3）由万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}$
联立得：v=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$
答：（1）月球表面的重力加速度是$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）月球的密度是$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$；
（3）月球的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．

点评 该题考查人造卫星的应用，解决本题的关键要建立模型，掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力．