Question

如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r=0.4m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合．现有一m=1kg可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放（取g=10m/s²）．
（1）若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？
（2）若小球静止释放处离C点的高度h小于（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h．
（3）若小球自H=0.3m处静止释放，求小球到达F点对轨道的压力大小．

Answer 1

分析：（1）根据重力提供向心力求出小球经过D点的最小速度，结合动能定理求出H的至少高度．
（2）根据平抛运动的规律求出在D点的速度，结合动能定理求出h的大小．
（3）对A到F的过程运用动能定理，求出F点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出小球到达F点对轨道的压力大小．

解答：解：（1）根据mg=m

v12

r

得，
要使小球能沿圆轨道运动，小球在D点的速度至少为v1=

gr

A到D，由动能定理得：mgHmin=

1

2

m

v

2 1

得H_min=0.2m
（2）小球在D点作平抛运动，设小球在D点的速度为v₂x=v₂t=r，y=

1

2

gt2=r
A到D，由动能定理得：mgh=

1

2

m

v

2 2

代入数据，由以上各式可得h=0.1m
（3）小球从A到F，由动能定理得：mg(H+2r)=

1

2

m

v

2 F

由向心力公式：NF-mg=

m v 2 F

r

代入数据得N_F=65N
由牛顿第三定律可知：球在F点对轨道的压力大小为NF′=65N
答：（1）H至少0.2m．
（2）h的大小为0.1m．
（3）小球到达F点对轨道的压力大小为65N．

点评：本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合，搞清圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．