Question

一质量为m=4.0×10³ kg，发动机额定功率为P=60kW的汽车从静止开始以a=0.5m/s²的加速度做匀加速直线运动后以额定功率运动，它在运动中所受阻力为车重的0.1倍，g取10m/s²，求：
（1）起动后2s末发动机的输出功率；
（2）它以0.5m/s²的加速度做匀加速运动的时间；
（3）汽车在此路面上行驶的最大速度；
（4）若汽车经过100s时间速度达到最大值，求这段时间内汽车前进的距离．

Answer 1

分析：（1）当汽车以额定功率做匀速运动时，速度最大，此时牵引力与阻力大小相等，由牵引力功率公式P=Fv_m，求出阻力大小．汽车做匀加速直线运动过程中，由牵引力和阻力的合力产生加速度，根据牛顿第二定律求出牵引力．3s汽车的速度大小v=at，由P=Fv求解；
（2）汽车做匀加速运动过程中，当汽车的实际功率达到额定功率时，匀加速运动结束，由P=Fv求出匀加速运动的末速度，由v=at公式求解匀加速运动的时间；
（3）先求出汽车的速度为16m/s汽车的牵引力，再根据牛顿第二定律求解加速度．

解答：解：（1）汽车受到的阻力位f=0.1mg=4000N
由牛顿第二定律可知
F-f=ma
F=f+ma=6000N
2s末的速度为
V=at₁=0.5×2m/s=1m/s
起动后2s末发动机的输出功率P=FV=6kW
（2）汽车做匀加速运动过程中，当汽车的实际功率达到额定功率时，由P=Fv₁得
匀加速运动的末速度v₁=

P

F

=

60000

6000

m/s=10m/s
汽车做匀加速运动的时间t=

V1

a

=

10

0.5

s=20s
（3）当牵引力等于阻力时速度达到最大
P=fV_max
V_max=

P

f

=

60000

4000

m/s=15m/s
（4）匀加速阶段前进的位移为
x₁=

1

2

at2=

1

2

×0.5×202=100m
达到额定功率后运动的时间为t′=t_总-t=100s-20s=80s
由动能定理可知
Pt′-fx=

1

2

mv

2 max

-

1

2

mv2
x=

Pt′- 1 2 mv 2 max + 1 2 mv2

f

=

60000×80- 1 2 ×4000×152+ 1 2 ×4000×102

4000

m=1137.5m
所以经历的总位移为
X=x₁+x=100m+1137.5m=1237.5m
答：（1）起动后2s末发动机的输出功率6kw；
（2）汽车做匀加速直线运动的时间是20s；
（3）汽车在此路面上行驶的最大速度15m；
（4）若汽车经过100s时间速度达到最大值，求这段时间内汽车前进的距离为1237.5m．

点评：本题是交通工具的启动问题，关键抓住两点：一是汽车运动过程的分析；二是两个临界条件：匀加速运动结束和速度最大的条件．