Question

3．一根符合胡克定律的弹性细绳原长为L，劲度系数为k，将其一端穿过一个光滑小孔O（其在水平地面上的投影点为O'），系在一个质量为m的滑块A（忽略体积大小）上，A放在水平地面上．小孔O离绳固定端的竖直距离为L，离水平地面高度为h（h＜$\frac{mg}{k}$），滑块A与水平地面间的最大静摩擦力为压力的μ倍．重力加速度为g．问：
（1）当滑块与O'点距离为r时，弹性细绳的伸长量多大？弹性细绳的拉力F为多大？
（2）滑块所受的最大静摩擦力f_m多大？
（3）滑块处于怎样的区域内时可以保持静止状态？

Answer 1

分析 弹性细绳（遵循胡克定律）在弹性限度内，受到的拉力与伸长量成正比．
对滑块受力分析，利用平衡状态条件和最大静摩擦力知识解决问题．

解答 解：（1）由几何关系知，弹性绳的伸长量为：$x=\sqrt{{h^2}+{r^2}}$，
弹性绳的弹力大小：$F=kx=k\sqrt{{h^2}+{r^2}}$，
（2、3）设A静止时离O′的距离为r，此位置处A将受到四个力的作用如图：
对F_T正交分解，由于处于平衡状态所以有：
竖直方向：F_N+F_Tsinθ=mg，
水平方向：F_Tcosθ=F_f
而F_T=k$\frac{h}{sinθ}$，F_fmax=μF_N
所以有：k$\frac{h}{sinθ}$cosθ=f≤f_max=μ （mg-kh）   
其中$\frac{h}{sinθ}$cosθ=r
即$r≤\frac{μ（mg-kh）}{k}$这表明，滑块可以静止在以O′为圆心，$\frac{μ（mg-kh）}{k}$为半径的圆域内的任意位置．
答：（1）当滑块与O'点距离为r时，弹性细绳的伸长量为$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$，弹性细绳的拉力F为$k\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$；
（2）滑块所受的最大静摩擦力f_m为μ （mg-kh）；   
（3）滑块可以静止在以O′为圆心，$\frac{μ（mg-kh）}{k}$为半径的圆域内的任意位置．

点评 对物体进行受力分析，运用平衡状态条件列出力与力的关系，根据题目的条件中找到临界状态．
物理量之间的关系是通过物理规律联系的，找到一个物理量的范围可以找出其他物理量的范围．