Question

13．在图甲所示的竖直平面内，质量不计的橡皮筋一端固定在足够长的绝缘斜面顶端，另一端接在质量m=0.2kg、电荷量q=-6×10^-6C的物体P上；过斜面上的B点并垂直于斜面的平面下方有匀强电场，其方向平行于斜面．图示的方向为正方向．橡皮筋处于原长时，P从斜面上的A点静止释放，当P运动至B点时，橡皮筋的伸长量x=0.16m，橡皮筋对P做功W_P=0.064J．已知P与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，斜面与水平面的夹角θ=37°．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，物体的电荷量不变．
（1）求物体P在B点速度的大小v_B；
（2）当P到达B点时，剪断橡皮筋，以此时为计时起点，电场强度随时间的变化规律如图乙所示．求0到1s，摩擦力对物体P所做的功W．

Answer 1

分析 （1）物体P从A点到B点，设摩擦力做功为W_f，重力做功为W_G，根据动能定理列式求解；
（2）分三个过程，应用牛顿运动定律和运动学规律求解位移，然后根据W=FScosθ求解摩擦力做功．

解答 解：（1）物体P从A点到B点，设摩擦力做功为W_f，重力做功为W_g，则
W_f=-μmgxcosθ…①
W_G=mgxsinθ…②
由动能定理得：-W_P+W_G+W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$…③
代入数据解得：v_B=0.8m/s…④
（2）0-0.2s，设物体P的加速度为a₁，根据牛顿第二定律知：
mgsinθ-μmgcosθ+qE=ma₁…⑤
0.2sP运动的路程为x₁，速度为v₁
v₁=v_B+a₁t₁…⑥
x₁=${v}_{B}{t}_{1}+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$…⑦
说明：如分部计算，a₁=16m/s²，v₁=4m/s，s₁=0.48m
由图乙可知，0.2s时电场方向反向，P做匀减速直线运动，直至速度为零．设此运动过程加速度为a₂，所用的时间为t₂，运动的路程为s₂，则
mgsinθ-μmgcosθ-qE=ma₂…⑧
v₁+a₂t₂=0…⑨
x₂=$-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$…⑩
解得：a₂=-8m/s²，t₂=0.5s，x₂=1m
从0.2+t₁时刻开始，速度反向（沿斜面向上），此时作用于P的滑动摩擦力反向，直至1s时刻．设此运动过程加速度为a₃，所用的时间为t₃（即t₃=1-0.2-t₂），运动的路程为s₃，则
mgsinθ+μmgcosθ-qE=ma₁…⑪
x₃=$-\frac{1}{2}$a${\;}_{3}{t}_{3}^{2}$…⑫
a₃=-4m/s²，t₃=0.3s，x₃=0.18m
设物体0～1s运动的路程为s，则
x=x₁+x₂+x₃=1.66m…⑬
0～1s过程中，摩擦力对物体P所做的功
W-μmgscosθ…⑭
联立⑤～⑭式，得
W=-0.664J…⑮
答：（1）物体P在B点速度的大小v_B=0.8m/s；
（2）当P到达B点时，剪断橡皮筋，以此时为计时起点，电场强度随时间的变化规律如图乙所示．0到1s，摩擦力对物体P所做的功W=-0.664J．

点评 此题运动过程较多，注意分段受力分析和运动分析，属于难题．