Question

9．甲、乙两个做匀速圆周运动的卫星，角速度和线速度分别为ω₁、ω₂和v₁、v₂，若它们的轨道半径之比为$\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{2}$，则下列表达式中正确的是（　　）

• A． $\frac{ω_1}{ω_2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{1}，\frac{v_1}{v_2}=\frac{1}{2}$
• B． $\frac{ω_1}{ω_2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{1}，\frac{v_1}{v_2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$
• C． $\frac{ω_1}{ω_2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{1}，\frac{v_1}{v_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{1}$
• D． $\frac{ω_1}{ω_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{1}，\frac{v_1}{v_2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力写出角速度与线速度与半径的关系，再根据半径比求得它们之比．

解答 解：根据万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr{ω}^{2}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，所以$\frac{{ω}_{1}}{{ω}_{2}}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}^{3}}}}{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}^{3}}}}=\sqrt{（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{1}$
线速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，所以$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}}{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}}}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=\frac{\sqrt{2}}{1}$
故选：C．

点评 万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，能据此列式分析描述圆周运动的物理量与半径的关系是正确解题的关键．