Question

4．清明节高速免费，物理何老师驾车在返城经过高速公路的一个出口路段如图所示，发现轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到收费口D点停下．已知轿车在出口A处的速度v₀=20m/s，AB长L₁=200m；BC为四分之一水平圆弧段，限速（允许通过的最大速度）v=10m/s，轮胎与BC段路面间的动摩擦因μ=0.2，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段长L₂=100m，重力加速度g取10m/s²，π取3.14．求：
（1）若轿车到达B点速度刚好为v=10m/s，轿车在AB下坡段加速度的大小；
（2）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC半径R的最小值；
（3）轿车A点到D点全程的最短时间（保留两位小数）．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出轿车在AB下坡段的加速度大小．
（2）根据最大静摩擦力，结合牛顿第二定律求出水平圆弧段BC的半径最小值．
（3）根据运动学公式分别求出AB、BC和CD段的时间，从而得出轿车从A点到D点的最短时间．

解答 解：（1）对AB段匀减速直线运动有：
${v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}$=-2aL₁ 
代入数据解得：a=0.75m/s²                 
（2）汽车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供向心力，有：
${F}_{f}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
为了确保安全，则须满足 F_f≤μmg            
联立解得：R≥50m，即：R_min=50m　　        
（3）设AB段时间为t₁，BC段时间为t₂，CD段时间为t₃，全程所用最短时间为t．
L₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$，
$\frac{1}{2}$πR=vt₂ 
L₂=$\frac{v}{2}{t}_{3}$，
则总时间为：t=t₁+t₂+t₃
代入数据解得t=41.18 s．
答：（1）轿车在AB下坡段加速度的大小为0.75m/s²；
（2）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC半径R的最小值为50m；
（3）轿车A点到D点全程的最短时间为41.18s．

点评 本题考查了匀变速直线运动和圆周运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，对于第三问，关键理清轿车在整个过程中的运动规律，结合运动学公式和推论进行求解．