Question

5．如图所示，电阻不计的足够长光滑平行金属导轨倾斜放置，两导轨间距为L，导轨平面与水平面之间的夹角为α，下端接有阻值为R的电阻．质量为m、电阻为r的导体棒ab与固定轻质弹簧连接后放在导轨上，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，开始时导体棒ab处于锁定状态且弹簧处于原长．某时刻将导体棒解锁并给导体棒一个沿导轨平面向下的初速度v₀使导体棒ab沿导轨平面运动，整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触，弹簧的劲度系数为k且弹簧的中心轴线与导轨平行，导体棒运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g．
（1）若导体棒的速度达到最大时弹簧的劲度系数k与其形变量x、导体棒ab的质量之间的关系为k=$\frac{mgsinα}{2x}$，求导体棒ab的速度达到最大时通过电阻R的电流大小；
（2）若导体棒ab第一次回到初始位置时的速度大小为v，求此时导体棒ab的加速度大小；
（3）若导体最终静止时弹簧的弹性势能为E_p，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的热量．

Answer 1

分析 （1）由平衡关系可求得金属棒达最大值时的电流；
（2）由牛顿第二定律可求得加速度大小；
（3）由功能关系可求得R上产生的热量．

解答 解：（1）当物体达最大速度时，物体受到的合力为零；则有：
mgsinα-kx-BIL=0；
解得：I=$\frac{mgsinα}{2BL}$
（2）第一次回到初始位置时，由牛顿第二定律可知：
mgsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma；
解得：a=gsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（3）静止时弹性势能为E_P；由E_P=$\frac{1}{2}$kx²可得：
x=$\frac{{E}_{p}}{mgsinα}$
由能量守恒定律可知：
Q=mgxsinα+E_P+$\frac{1}{2}$mv₀²=2E_P+$\frac{1}{2}$mv₀²
答：（1）导体棒ab的速度达到最大时通过电阻R的电流大小为$\frac{mgsinα}{2BL}$；
（2）此时导体棒ab的加速度大小gsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（3）电阻R上产生的热量为2E_P+$\frac{1}{2}$mv₀²．

点评 本题考查导体切割磁感线中的能量及受力平衡关系的应用，要注意明确牛顿第二定律、功能关系及平衡条件的准确应用．