Question

7．如图所示，在半径为R=$\frac{mv0}{Bq}$的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P有一速率为v₀的带正电的粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计．
（1）若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
（2）若粒子对准圆心射入，且速率为$\sqrt{3}$v₀，求它打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角；
（3）若粒子以速率v₀从P点以与PQ夹角θ射入，求它打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力求出带电粒子在磁场中运动的轨道半径，从而根据几何关系求出圆弧的圆心角大小，通过弧长和速度求出在磁场中运动的时间．
（2）若粒子对准圆心射入，且速率为$\sqrt{3}$v₀，轨道半径变为原来的$\sqrt{3}$倍，通过几何关系求出圆弧的圆心角，然后求出它打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程，作出粒子运动轨迹，然后求出它打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角．

解答 解：（1）设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，由牛顿第二定律得：
Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=R，
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为$\frac{π}{2}$．则它在磁场中运动的时间为：
t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{2qB}$；
（2）由（1）知，当v=$\sqrt{3}$v₀时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为$\sqrt{3}$R，
其运动轨迹如图所示．
由几何关系可知∠PO₂O=∠OO₂A=30°，
所以带电粒子离开磁场时偏转角为60°，
粒子打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角为60°；
（3）由（1）知，当带电粒子以v₀射入时，粒子在磁场中的运动轨迹半径为R，
设粒子射入方向与PO方向之间的夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子的运动轨迹如图所示．
因PO₃=O₃S=PO=SO=R，
所以四边形POSO₃为菱形，由几何关系可知：PO∥O₃S
在S点的速度方向与O₃S垂直，
即粒子打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角为90°；
答：（1）若粒子对准圆心射入，它在磁场中运动的时间$\frac{πm}{2qB}$；
（2）若粒子对准圆心射入，且速率为$\sqrt{3}$v₀，它打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角60°；
（3）若粒子以速率v₀从P点以与PQ夹角θ射入，它打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角90°．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，掌握带电粒子在磁场中运动的半径公式．本题对数学几何能力要求较高，需加强这方面的训练．