Question

【题目】图中给出一段“ ”形单行盘山公路的示意图，弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为 ，弯道中心线半径分别为 ，弯道2比弯道1高 ，有一直道与两弯道圆弧相切。质量 的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑。（sin37°=0.6，sin53°=0.8）

（1）求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度 ；
（2）汽车以 进入直道，以 的恒定功率直线行驶了 ，进入弯道2，此时速度恰为通过弯道2中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；
（3）汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道，设路宽 ，求此最短时间（A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点 ）。

Answer 1

【答案】
（1）

弯道1的最大速度v1，有：

得

（2）

弯道2的最大速度v2，有：

得

直道上由动能定理有：

代入数据可得

（3）

可知r增大v增大，r最大，切弧长最小，对应时间最短，所以轨迹设计应如下图所示

由图可以得到

代入数据可以得到r’=12.5m

汽车沿着该路线行驶的最大速度

由

线路长度

最短时间 。

【解析】（1）汽车拐弯时靠静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大时，汽车的速度最大，根据牛顿第二定律求出汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1；（2）同理求出汽车沿弯道2中心线行驶时的最大速度v2，再研究汽车在直道上行驶的过程，运用动能定理求阻力对汽车做的功；（3）当汽车沿着与弯道1内切的弧线运动时时间最短，且速度最大，根据几何关系求出该弧线的半径，结合运动学公式求最短时间．
【考点精析】通过灵活运用静摩擦力和向心力，掌握静摩擦力:静摩擦力大小可在0与fmax 之间变化，一般应根据物体的运动状态由平衡条件或牛顿定律来求解；向心力总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小；向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力即可以解答此题．