Question

12．如今在工厂中常用机器人代替工人工作．如图所示，一工厂用水平传送带AB和斜面BC（斜面倾角θ=37°）将货物运送到斜面的顶端．在A、C处各有一个机器人，A处机器人每隔△t=1.0s将一个质量m=56kg的货物箱（可视为质点）轻放在传送带A端，货物箱经传送带和斜面后到达斜面顶端的C点时速度恰好为零，C点处机器人则立刻将货物箱搬走．已知传送带AB的长度L=12m，上表面保持匀速向右运行，运行的速度v=16m/s．传送带B端靠近斜面底端，斜面底端与传送带的B端之间有一段长度可以不计的小圆弧，货物箱由传送带的右端到斜面底端的过程中速度大小损失原来的$\frac{1}{6}$．已知斜面BC的长度s=5.0m，传送带与货物箱之间的动摩擦因数μ₀=0.60，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）货物箱到达B时的速度；
（2）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ；
（3）若在C点处的机器人发生故障，未能将第一个到达C点的货物箱搬走而造成与第二个货物箱在斜面上相撞．求两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离．（本问结果可以用根式表示）

Answer 1

分析 （1、2）货物箱在传送带上做匀加速运动过程，根据牛顿第二定律求出加速度，由速度位移关系公式求出货物箱运动到传送带右端时的速度大小，根据货物箱由传送带的右端到斜面底端的过程中速度大小损失原来的$\frac{1}{6}$，得到货物箱刚冲上斜面时的速度．货物箱在斜面上向上运动过程中做匀减速运动，已知初速度、末速度为零，位移为s，由速度位移关系公式求出加速度大小，由牛顿第二定律求出斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ．
（3）由运动学公式分别求出货物箱由A运动到B的时间和由B运动到C的时间，得到第一个货物箱冲上斜面C端时第二个货物箱刚好冲上斜面，然后货物箱沿斜面向下做匀加速运动，由牛顿第二定律求出加速度，当第一个货物箱与第二个货物箱相遇时，两者位移大小之和等于斜面的长度s，由位移公式求出相遇时间，再求出两个货物箱在斜面上相遇的位置到C端的距离．

解答 解：（1）货物箱在传送带上做匀加速的过程中，根据牛顿第二定律得，μ₀mg=ma₀，
解得${a}_{0}={μ}_{0}g=0.6×10m/{s}^{2}=6m/{s}^{2}$，
假设在传送带上货物箱一直做匀加速直线运动，由运动学公式${{v}_{1}}^{2}=2{a}_{0}L$．
代入数据解得v₁=12m/s，因为12m/s＜16m/s，假设成立．
（2）货物箱刚冲上斜面时的速度${v}_{2}=（1-\frac{1}{6}）{v}_{1}=\frac{5}{6}×12m/s=10m/s$，
货物箱在斜面上向上运动过程中，${{v}_{2}}^{2}=2{a}_{1}s$，
代入数据解得${a}_{1}=10m/{s}^{2}$，
根据牛顿第二定律得，mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
代入数据解得μ=0.5．
（3）货物箱由A运动到B的时间为${t}_{AB}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{0}}=\frac{12}{6}s=2s$，
由B运动到C的时间为${t}_{BC}=\frac{{v}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{10}{10}s$=1s，
可见第一个货物箱冲上斜面C端时第二个货物箱刚好冲上斜面，货物箱沿斜面向下运动，根据牛顿第二定律得，mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，
代入数据解得加速度大小${a}_{2}=2m/{s}^{2}$，
设第一个货物箱在斜面C端沿斜面向下运动与第二个货物箱相撞的过程所用的时间为t，有：
${v}_{2}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=s$，
代入数据解得$t=\frac{5-\sqrt{5}}{4}s≈0.69s$，
两个货物箱在斜面上相遇的位置到C端的距离${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{30-10\sqrt{5}}{16}m≈0.48m$．
答：（1）货物箱到达B时的速度为12m/s；
（2）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ为0.5；
（3）两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离为0.48m．

点评 此题文字较多，首先要有耐心读题．对于传送带问题，关键是分析物体的运动情况，本题要边计算边分析，不能只定性分析