Question

3．如图所示，长为L、质量为m的均质薄板AB的B端靠在竖直墙壁上，在距B端$\frac{3L}{4}$处支有一匀速转动的轮子，由于转动轮和板间摩擦力的作用，使AB板保持水平．已知B端与墙之间的最大静摩擦力为$\frac{2mg}{3}$．现有质量为m′=$\frac{m}{2}$的小物块以速度v₀从A端水平滑上AB板，若物块与板间的动摩擦因数为μ，为使板依旧保持水平，物块初速度v₀应取何值？

Answer 1

分析 根据力矩平衡求得小物块能滑到BC间的最大位置，据此算得小木块的最大位移，据运动规律求解物块的初速度．

解答 解：小物块最终停在离C点距离为x处右侧，根据力矩平衡条件有：
$mg（\frac{3L}{4}-\frac{L}{2}）+m′gx={f}_{m}•\frac{3}{4}L$
代入m$′=\frac{m}{2}$和${f}_{m}=\frac{2mg}{3}$解得：
$x=\frac{L}{2}$
由此可知，物块在薄板上滑动的距离$s=\frac{L}{4}+x=\frac{3L}{4}$
物块在滑动摩擦力作用下做匀减速运动，根据牛顿第二定律有μm′g=ma
可得物块减速运动的加速度a=μg
据速度位移关系知，${v}^{2}-{v}_{0}^{2}=-2as$
可得${v}_{0}=\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×μg\frac{3L}{4}}$=$\sqrt{\frac{3μgL}{2}}$
答：物块初速度v₀应取$\sqrt{\frac{3μgL}{2}}$．

点评 解决本题的关键是能根据木板平衡由力矩平衡条件求得物块的最终最大位置，再由运动学规律求得物块的位移和初速度．