Question

       如图12所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为，分别带有等量的负、正电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场。A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为，电荷量为的小球（可视为质点）， 在外力作用下静止在轨道的中点P处。孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道，轨道上距A板处有一固定档板，长为的轻弹簧左端固定在挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q。撤去外力释放带电小粒，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能。小球从接触 Q开始，经历时间T₀第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回。由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的。求：

（1）小球第一次接触Q时的速度大小；

（2）假设小球第次弹回两板间后向右运动的最远处没有到达B板，试导出小球从第次接触 Q，到本次向右运动至最远处的时间T₀的表达式；

（3）假设小球被第N次弹回两板间后向右运动最远处恰好到达B板，求N为多少。

Answer 1

（1）

（2）

（3）N=log _k 2

解析:

（1）设小球第一次接触Q的速度为v，接触Q前的加速度为a。

根据牛顿第二定律有E=ma …………………………………………………2分

对于小球从静止到与Q接触前的过程，根据运动学公式有v²=2al…………2分

联立解得v=………………………………………2分

（2）小球每次离开Q的瞬时速度大小相同，且等于小球第一次与Q接触时速度大小。……………………………………………………………………1分

       设小球第1次离开Q向右做减速运动的加速度为a₁，速度由v减为零所需时间为t₁，小球离开Q所带电荷量为q₁。

       根据牛顿第二定律有q₁E=ma₁……………………………………………1分

       根据运动学公式有 ………………………………………………………………1分

       根据题意可知小球第1次离开Q所带电荷量 …………………………………1分

       联立解得 ……………………………………………………………………1分

       设小球第2次离开Q向右做减速运动的加速度为a₂，速度由v减为零所需时间为t₂，小球离开Q所带电荷量为q₂。

       同理q₂E=ma₂，，

       联立解得……………………………………………………………………1分

       设小球第n次离开Q向右做减速运动的加速度为a_n，速度由v减为零所需时间为t_n，小球离开Q所带电荷量为q_n。

       同理  q_nE=ma_n，，…………………………………………………1分

       联立解得……………………………………………………………………1分

       小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间……2分

（3）设小球第N次离开Q，向右运动的最远处恰好在B板处，这个过程中小球的加速度为a_N，小球第N次离开Q所带电荷量为q_N。

       对于小球第N次接触Q前，小球从P位置到与Q接触的过程中，

       根据动能定理有qEl=，…………………………………………………………1分

       对于小球第N次离开Q，向右运动至B板处的过程中，

       根据动能定理有q_NE2l= …………………………………………………………1分

       根据上式有，又，所以k^N = 2 ………………………………………1分

       N=log _k 2……………………………………………………………………………………1分