Question

图示为一利用传输带输送货物的装置．物块（视为质点）自平台经斜面滑到一以恒定速度V运动的水平长传输带上，再由传输带输送到远处目的地．已知斜面高h=2.0m，水平边长L=4.0m，传输带宽d=2.0m，传输带的运动速度V=3.0m/s，物块与斜面间的摩擦系数μ₁=0.30，物块自斜面顶端下滑的初速度为零，沿斜面下滑的速度方向与传输带运动方向垂直．设斜面与传输带接触处为非常小的一段圆弧，使得物块通过斜面与传输带交界处时其速度的大小不变．重力加速度g=10m/s²．
（1）为使物块滑到传输带上后不会从传输带边缘脱离，物块与传输带之间的摩擦系数μ₂至少为多少？
（2）假设传输带由一带有稳速装置的直流电机驱动，与电机连接的电源的电动势E=200V，内阻可忽略；电机的内阻R=10Ω，传输带空载（无输送货物）时工作电流I₀=2.0A，求当货物的平均流量（单位时间里输送的货物质量）稳定在η=

640

9

kg/s时，电机的平均工作电流等于多少？假设除了货物与传输带之间的摩擦损耗和电机的内阻热损耗外，其它部分的能量损耗与传输带上的货物量无关．

Answer 1

（1）令m表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度为：
a=

mgsinθ-μ1mgcosθ

m

=g(sinθ-μ1cosθ)
根据匀变速直线运动的速度位移关系，物块在斜面上滑动距离为x=

h

sinθ

，所以有：
v0=

2ax

=

2g(sinθ-μ1cosθ) h sinθ

=

2gh(1-μ1costθ)

由题意知，cotθ=

L

h

所以所以物块滑到底端的速度为：
v0=

2×10×2(1-0.3× 4 2 )

m/s=4m/s
以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小为：
v′0=

v 20 +V2

=5.0m/s

运动方向与传输带边缘的夹角α满足tanα=

v0

v

=

4

3

，sinα=

v0

v0′

=

4

5

物块在传输带上作减速运动，其加速度大小为：a′=

μ2mg

m

=μ2g
当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离为：s′=

v ′ 20

2a′

=

v ′ 20

2μ2g

物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数μ₂应满足：s′sinα=

v ′ 20 sinα

2μ2g

=d
因此可得：μ2=

v0′2sinα

2gd

=

52? 4 5

2×10×2

=0.5
（2）由题意知物体对传输带的摩擦力大小为：
F=μ2?

ηg

μ2g

v0′=ηv0′
方向与v₀′的方向相同．从地面参考系来看，传输带速度为v，单位时间内物块对传输带所做的功
W=-Fvcosα
因此负载所引起的附加功率为：△P=-W=ηv2=

640

9

×32W=640W
考虑到无负载时电机的输出功率为：P0=I0E-

I

20

R=2×200-22×10W=360W
所以有负载时电机的输出功率为：P=P₀+△P=1000W
设有负载时的工作电流为I，则有：P=IE-I²R
代入P和E、R数值可解得：I=10A．
答：（1）满足要求的μ₂至少为0.5；
（2）电机的平均工作电流为10A．