Question

在xOy平面内，直线OP与y轴的夹角α=45°。第一、第二象限内存在方向分别为竖直向下和水平向右的匀强电场，电场强度大小均为E=1.0×10⁵ N/C；在x轴下方有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度B=0.1T，如图所示。现有一带正电的粒子从直线OP上某点A(-L, L)处静止释放。设粒子的比荷=4.0×10⁷ C/kg，粒子重力不计。求：

（1）若L=2 cm，粒子进入磁场时与x轴交点的横坐标及粒子速度的大小和方向；

（2）如果在直线OP上各点释放许多个上述带电粒子(粒子间的相互作用力不计)，试证明各带电粒子进入磁场后做圆周运动的圆心点的集合为一抛物线。

Answer 1

解：（1）粒子在第二象限匀加速直线的过程：

                                      ……（2分）

得     v₁=4×10⁵ m/s                                ……（1分）

粒子在第一象限做类平抛运动：

                                     ……（1分）

x=v₁t                                              ……（1分）

得x=2L=0.04 m                                     ……（1分）

v_x=v₁=4×10⁵ m/s

v_y=at=4×10⁵ m/s                                      ……（2分）

设粒子进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角为θ,

    则θ=45°                           ……（2分）

粒子进入磁场时的速度为

       ……（1分）

与x轴正方向成45°角斜向下.         ……（1分）

（2）L取任意值时均有:

x₀=2L, θ=45°,

           ……（2分）

粒子在磁场中做匀速圆周运动时，

代入数据得: R= ……（2分）

所以圆心的坐标为:

，                             ……（2分）

R=代入并消去L,得

x=4y²+y                                                 ……（2分）

此方程为一抛物线方程.