Question

6．如图，在光滑水平轨道的右方有一弹性挡板，一质量为M=0.50kg的木板正中间放有一质量为m=2kg的小铁块（可视为质点）静止在轨道上，木板右端距离挡板x₀=0.5m，铁块与木板间动摩擦因数μ=0.2．现对铁块施加一沿着轨道水平向右的外力F=10N，木板第一次与挡板碰前瞬间撤去外力．若木板与挡板碰撞时间极短，反弹后速度大小不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s²．
（1）木板第一次与挡板碰撞前经历的时间是多长？
（2）若铁块和木板最终停下来时，铁块刚好没滑出木板，则木板有多长？
（3）从开始运动到铁块和木板都停下来的整个过程中，木板通过的路程是多少？

Answer 1

分析 （1）先分析铁块与木板能否一起运动．根据牛顿第二定律求出木板靠最大静摩擦力或滑动摩擦力产生的加速度，假设两者不不发生相对运动，由牛顿第二定律求得共同的加速度，从而作出判断．再根据运动学位移时间公式求解时间．
（2）由公式v₁=at，求出木板与挡板碰前的共同速度，木板第一次与挡板碰撞前瞬间撤去外力，铁块以速度v₁向右做减速运动，木板与挡板碰撞后以速度v₁向左做减速运动，木板与木块相对滑动．由牛顿第二定律和运动学公式结合求出板速度减为零经过的时间和向左运动的最远距离．再由能量守恒定律求解．
（3）根据运动学位移速度关系公式求出木板与挡板第二次碰后木板向左运动的最远距离．木板与铁块达到共速后，将以速度v₂运动，再次与挡板碰撞．以后多次重复这些过程．运用归纳法得到木板向左运动的最远距离与碰撞次数的关系式，即可求得木板通过的路程．

解答 解：（1）设木板靠最大静摩擦力或滑动摩擦力产生的加速度为a_m，则，
a_m=$\frac{μmg}{M}$=8m/s²，
假设木板与物块不发生相对运动，设共同加速度为a，则
a=$\frac{F}{M+m}$=4m/s²，
因a＜a_m，所以木板在静摩擦力作用下与物块一起以加速度a运动．设向右运动第一次与挡板碰撞前经历的时间为t，则x₀=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
解得 t=0.5s；
（2）设木板与挡板碰前，木板与物块的共同速度为v₁，则
v₁=at，
解得 v₁=2m/s，
木板第一次与挡板碰撞前瞬间撤去外力，物块以速度v₁向右做减速运动，加速度大小为a₁，木板与挡板碰撞后以速度v₁向左做减速运动，木板与木块相对滑动，则木板加速度大小为a_m，设板速度减为零经过的时间为t₁，向左运动的最远距离为x₁，则
  μmg=ma₁
  v₁=a_mt₁
  ${x}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{m}^{\;}}$
解得 a₁=2m/s²，t₁=0.25s，x₁=0.25m，
当板速度向左为零时，设铁块速度为v₁′，则v₁′=v₁-a₁t₁，
设再经过时间t₂铁块与木板达到共同速度v₂，木板向右位移为x₁′，则
  v₂=v₁′-a₁t₂，v₂=a_mt₂，x₁′=$\frac{1}{2}{a}_{m}{t}_{2}^{2}$，
解得 v₁′=1.5m/s，t₂=0.15s，v₂=1.2m/s，x₁′=0.09m，
因为x₁′＜x₁，所以木板与铁块达到共速后，将以速度v₂运动，再次与挡板碰撞．以后多次重复这些过程最终木板停在挡板处．
设木板长为L，则以木板和铁块系统为研究对象，根据能量守恒 $μmg\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$
解得 L=2.5m．
（3）设木板与挡板第二次碰后，木板向左运动的最远距离为x₂，则x₂=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{m}}$，
解得 x₂=0.09m，
综上可知 v₂=0.6v₁，x₂=0.36x₁，
因为以后是多次重复上述过程．同理，有木板与挡板第三次碰后，木板与铁块达到共速为v₃=0.6v₂，木板向左运动的最远距离为x₃=0.36x₂，
…
设木板与挡板第n-1次碰后，木板与铁块达到共速为v_n，同理有
v_n=0.6^n-1v₁
设木板与挡板第n次碰后，木板向左运动的最远距离为x_n，同理有
x_n=0.36^n-1x₁ 
所以，从开始运动到铁块和木板都停下来的全过程中，设木板运动的路程为s，则 s=x₀+2x₁+2x₂+…+2x_n，n→∞
解得s=$\frac{41}{32}$m=1.28m．
答：（1）木板第一次与挡板碰撞前经历的时间是0.5s．
（2）若铁块和木板最终停下来时，铁块刚好没滑出木板，则木板有2.5m．
（3）从开始运动到铁块和木板都停下来的整个过程中，木板通过的路程是1.28m．

点评 解决本题的关键要正确判断两个物体的运动状态，运用牛顿第二定律和运动学公式结合，边计算边分析．本题也可以根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求解，比较简洁．