Question

14． 如图所示，光滑圆锥体顶角为θ=90°，底面水平，长为L的细线一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在锥顶上，小球在水平面内做匀速圆周运动，已知重力加速度为g．
（1）若小球运动的角速度为ω₀时，小球刚好对圆锥面没有压力，求ω₀；
（2）当小球运动的角速度为2ω₀时，细线对小球的拉力F为多大？

Answer 1

分析 （1）求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度．
（2）由于速度大于临界速度，则物体离开锥面，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答 解：（1）当小球刚好对圆锥面没有压力时，物体刚离开锥面，则：Tcos$\frac{θ}{2}$-mg=0，
由拉力与重力的合力提供向心力，则有：$mgtan\frac{θ}{2}=m{{ω}_{o}}^{2}Lsin\frac{θ}{2}$
解之得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{L}}$
（2）当小球以角速度2ω₀时，则小球离开斜面，因此由重力与拉力的合力提供向心力．设此时细线与竖直方向之间的夹角为α，则：
mgtanα=mω²Lsinα
设此时细线的拉力为F，则：
Fcosα=mg
联立得：F=$4\sqrt{2}mg$
答：（1）若小球运动的角速度为ω₀时，小球刚好对圆锥面没有压力，则求ω₀是$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{L}}$；
（2）当小球运动的角速度为2ω₀时，细线对小球的拉力F为$4\sqrt{2}mg$．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，以及能够熟练运用牛顿第二定律求解．