Question

如图所示，位于竖直平面内的

1

4

圆弧光滑轨道，半径为R，轨道的最低点B的切线沿水平方向，轨道上端A距水平地面高度为H．质量为m的小球（可视为质点）从轨道最上端A点由静止释放，经轨道最下端B点水平飞出，最后落在水平地面上的C点处，若空气阻力可忽略不计，重力加速度为g．求：
（1）小球运动到B点时，轨道对它的支持力多大；?
（2）小球落地点C与B点的水平距离x为多少；?
（3）比值

R

H

为多少时，小球落地点C与B点水平距离x最远；该水平距离最大值是多少．

Answer 1

（1）小球从A点运动到B点的过程中，机械能守恒，设在B点的速度为v_B，根据机械能守恒定律有mgR=

1

2

mv_B²
设小球在B点时所受轨道的支持力为F_N，对小球在B点根据牛顿第二定律有
F_N-mg=m

v 2B

R

联立可解得F_N=3mg
（2）小球离开B点后做平抛运动．
沿竖直方向有H-R=

1

2

gt2
沿水平方向有x=v_Bt
联立解得x=2

R(H-R)

（3）由x=2

R(H-R)

可导出x=

H2-(2R-H)2

当

R

H

=

1

2

时，x有最大值．
x的最大值x_m=H
答：（1）小球运动到B点时，轨道对它的支持力为3mg；?
（2）小球落地点C与B点的水平距离x为2

R(H-R)

；?
（3）比值

R

H

等于

1

2

时，小球落地点C与B点水平距离x最远；该水平距离最大值是H．