Question

2010年上海世博会某国家馆内，有一“发电”地板，利用游人走过此处，踩踏地板发电．其原因是地板下有一发电装置，如图甲所示，装置的主要结构是一个截面半径为r、匝数为n的线圈，紧固在与地板相连的塑料圆筒P上．磁场的磁感线沿半径方向均匀分布，图乙为横截面俯视图．轻质地板四角各连接有一个劲度系数为k的复位弹簧(图中只画出其中的两个)．当地板上下往返运动时，便能发电．若线圈所在位置磁感应强度大小为B，线圈的总电阻为R₀，现用它向一个电阻为R的小灯泡供电．为了便于研究，将某人走过时地板发生的位移－时间变化的规律简化为图丙所示．(取地板初始位置x＝0，竖直向下为位移的正方向，且弹簧始终处在弹性限度内．)

(1)取图乙中顺时针方向电流为正方向，请在图丁所示坐标系中画出线圈中感应电流i随时间t变化的图线，并标明相应纵坐标．要求写出相关的计算和判断过程；

(2)t＝t₀/2时地板受到的压力；

(3)求人踩踏一次地板所做的功．

Answer 1

 (1)0～t₀时间，地板向下做匀速运动，其速度v＝x₀/t₀，线圈切割磁感线产生的感应电动势e＝nB·2πrv＝2nBπrx₀/t₀，感应电流i＝e/R＝2nBπrx₀/Rt₀；t₀～2t₀时间，地板向上做匀速运动，其速度v＝x₀/t₀，线圈切割磁感线产生的感应电动势

e＝－nB·2πrv＝－2nBπrx₀/t₀，感应电流i＝e/R＝－2nBπrx₀/Rt₀；

(2)t＝t₀/2时，地板向下位移x₀/2，弹簧弹力kx₀/2，安培力F_安＝nBi2πr＝2nBiπr，由平衡条件可知，地板受到的压力F＝2kx₀＋

(3)由功能关系可得人踩踏一次地板所做的功W＝2i²Rt₀＝.

答案：(1)见解析　(2)2kx₀＋

(3)