Question

如图甲所示，一光滑绝缘板组成的直角支架MLK，水平板LK长为l=0.91m，距离水平地面高为h=2m，竖直板ML足够长，两板连接处有一小孔．水平板上方存在E₁=2N/C的匀强电场，电场方向与水平方向成θ角，指向右上方，θ为45°至90°的某一确定值．竖直线MQ左侧有电场和磁场（甲图中均未画出），已知竖直方向的电场E₂分布在MQ左侧整个空间，与纸面垂直的磁场只分布在NP与MQ两平行线之间，区间水平宽度为d=1m，磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示，规定磁场垂直纸面向里为正方向．水平板LK上表面右边缘处有一质量m=0.1kg、电荷量q=0.1C的带负电小球，以初速度V₀=0.6m/s向左对准小孔运动．通过小孔后进入左侧空间恰好作匀速圆周运动．小球刚进入磁场时记作t=0时刻．假定小球与竖直板碰撞时间极短，且无动能损失，小球可视为质点，小球电量保持不变，g=10m/s²．求：

（1）电场强度E₂的大小和方向．

（2）在θ的取值范围内，小球在磁场中运动的时间最短为多少？

（3）在θ的取值范围内，小球在P点左侧的水平地面上的落点与P点的最大距离？（计算结果可以用根号表示）．

Answer 1

（1）小球在MQ左侧做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，即：qE₂=mg，

代入数据解得：E₂=10N/C，电场力竖直向上，小球带负电，场强竖直向下；

（2）小球在平台上向右做匀加速运动，由动能定理得：

qE₁Lcosθ=mv²﹣mv₀²，45°≤θ≤90°，

代入数据解得：v_max=2m/s，

小球通过MN后的速度为：0.6m/s≤v≤2m/s，

小球在MQ右侧磁场区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m，

解得：R=，

粒子做圆周运动的半径：0.15m≤R₁≤0.5m，0.6m≤R₂≤2m；

小球做圆周运动的周期：T=，T₁==，T₂==2π，

小球进入磁场后向左瞬时针方向的匀速圆周运动，运动时间：t₁==T₁，

然后与ML碰撞，碰撞后小球速度水平向左，然后沿逆时针方向做匀速圆周运动，当小球速度最大为2m/s时逆时针做圆周运动的轨道半径最大为2m，此时小球在磁场中转过的圆心角θ最小，运动时间最短，有：sinθ==，

得：θ=30°，

粒子的运动时间为：t₂=T₂=，

粒子的最短运动时间为：t=t₁+t₂=s；

（3）小球以最大速度离开磁场时落地点的水平距离最大，

v_x=v_最大cosθ=2cos30°=m/s，

v_y=v_最大sinθ=2sin30°=1m/s，

在竖直方向，小球所受重力与电场力合力为零，小球做匀速直线运动，有：

h+2R_1最大﹣（R_2最大﹣R_2最大cosθ）=v_yt，

解得：t=（1+）s，

小球在P点左侧的水平地面上的落点与P点的最大距离为：x=v_xt=（3+）m；

答：（1）电场强度E₂的大小为10N/C，方向：竖直向下．

（2）在θ的取值范围内，小球在磁场中运动的时间最短为s；

（3）在θ的取值范围内，小球在P点左侧的水平地面上的落点与P点的最大距离为（3+）m．