Question

如图所示，竖直平面内有一边长为L、质量为m，电阻为R的正方形线框在竖直向下的匀强重力场和水平方向的磁场组成的复合场以初速度v₀水平抛出．磁场方向与线框平面垂直，磁场的磁感应强度随竖直向下的z轴按B=B₀+kz的规律均匀增大．已知重力加速度为g．求：
（1）线框竖直方向速度为v₁时，线框中瞬时电流的大小；
（2）线框在复合场中运动的最大电功率；
（3）若线框从开始抛出到瞬时速度大小达到v₂所经历的时间为t，那么线框在时间t内的总位移大小为多少．

Answer 1

分析：（1）线框竖直方向速度为v₁时，左右两边切割产生的感应电动势抵消，根据法拉第电磁感应定律求上下两边产生的感应电动势．e=△BLv₁，△B=k△z=kL．
再由欧姆定律求感应电流．
（2）线框在复合场中运动时，匀速运动时，速度最大，此时重力与磁场力平衡，由平衡条件，结合安培力表达式，求出最大速度．框在复合场中运动的最大电功率与重力功率相等．
（3）线框从抛出到速度v₂过程，根据牛顿第二定律：mg-(B2-B1)IL=ma=m

△v2

△t

，得到速度的变化量，再两边求和，运用积分法即可求得总位移大小．

解答：解：（1）线框竖直方向速度为v₁时，左右两边切割产生的感应电动势抵消，上下两边产生的总感应电动势为：e=△BLv₁，
而△B=k△z=kL，则得e=kL²v₁
线框中瞬时电流的大小为i=

e

R

=

kL2v1

R

．
（2）由线框在复合场中的速度最大时，重力与磁场力平衡得
   mg=(B2-B1)IL=

(B2-B1)2L2vmz

R

=

k2L4vmz

R

∴vmz=

mgR

k2L4

由能量关系得：线框在复合场中运动的最大电功率与重力功率相等，即有
  Pmax=mgvmz=

m2g2R

k2L4

（3）线框从抛出到速度v₂过程，由牛顿第二定律得  mg-（B₂-B₁）IL=ma=m

△vz

△t

则得 mg△t-

(B2-B1)2L2vz

R

△t=m△v_z
两边求和得 
   mg△t-

(B2-B1)2L2vz

R

△t=m△v_z
又v_z△t=△z，B₂-B₁=kL，
则得 mgt-

k2L4

R

△z=m

v 2 2 - v 2 0

时间t内z方向位移△z=

(mgt-m v 2 2 - v 2 0 )R

k2L4

而线框水平所受的安培力的合力为零，所以水平方向做匀速直线运动．则
时间t内线框的总位移大小为s=

(mgt-m v 2 2 - v 2 0 )2R2 k4L8 + v 2 0 t2

答：
（1）线框竖直方向速度为v₁时，线框中瞬时电流的大小为

kL2v1

R

；
（2）线框在复合场中运动的最大电功率是

m2g2R

k2L4

；
（3）若线框从开始抛出到瞬时速度大小达到v₂所经历的时间为t，线框在时间t内的总位移大小为为s=

(mgt-m v 2 2 - v 2 0 )2R2 k4L8 + v 2 0 t2

．

点评：本题中磁场是非匀强磁场，线框四边都切割磁感线，左右两边电动势抵消，所受的安培力也抵消，根据E=BLv分别得到上下两边的电动势，再求总电动势．本题的难点是运用积分法求竖直方向的位移，其切入口是牛顿第二定律及加速度的定义式．