Question

 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期。

（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m^/的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂。试求m^/（用m₁、m₂表示）；

（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的两倍，，运行周期T＝4.7π×10⁴s，质量m₁＝6m/s,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

　　　　　（G＝6.67×10N²·m/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

 （1）设A、B的圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速相同，其为ω。由牛顿运动运动定律，有

F_A＝m₁ω²r₁   

F_B＝m₂ω²r₂   

F_A＝F_B         

设A、B之间的距离为r，又r＝r₁＋r₂，   

由上述各式得

r＝                             ① 

由万有引力定律，有

F_A＝G                                 

将①代入得

F_A＝G                 

令

F_A＝G                   

比较可得

                         ②  

（2）由牛顿第二定律，有

                         ③    

又可见星A的轨道半径

　　　         r₁＝                               ④  

由②③④式可得

　　　　　　　　　

（3）将m₁＝6m_I代入⑤式，得

　　　　　　　　　　⑤

代入数据得

　　　　　　　　　　⑥  

设m₂＝nm_I，（n＞0），将其代入⑥式，得

　　　　⑦   

可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得

　　　　　　⑧ 

　　　若使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m₂必须大于2m_I，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。