Question

15．“北斗”系统中两颗工作卫星1和2在同一轨道上绕地心O沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻它们分别位于轨道上的A、B两位置，如图所示．已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．以下判断中正确的是（　　）

• A． 这两颗卫星的向心加速度大小为a=$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$g
• B． 这两颗卫星的角速度大小为ω=R$\sqrt{\frac{g}{r}}$
• C． 卫星1由位置A运动至位置B所需的时间为t=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． 如果使卫星1加速，它就一定能追上卫星2

Answer 1

分析 万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，可得出r相同则速度v大小相等，v变大则r变大（做离心运动），再结合$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$即$GM=g{R}_{\;}^{2}$（黄金代换），即可求解．

解答 解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，即：G$\frac{Mm}{r2}$=ma，由万有引力与重力关系，G$\frac{Mm}{R2}$=mg，解两式得：a=$\frac{R2}{r2}$g，A项正确；

B、由a=ω²r，将上式代入得：ω=$\sqrt{g\frac{{R}^{2}}{{r}^{3}}}$，B项错误；
C、卫星1由位置A运动到位置B所需时间为卫星周期的$\frac{1}{6}$，由T=$\frac{2π}{ω}$，t=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$，C项正确；
D、卫星1加速后做离心运动，进入高轨道运动，不能追上卫星2，D项错误．
故选：AC

点评 关于做圆周运动的卫星类问题，要灵活运用两个公式$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m{ω}_{\;}^{2}r=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$注意卫星若加速则做离心运动，减速则做向心运动．