Question

14．如图所示是竖直光滑的四分之三圆弧，其半径R=1m，其中AB、CD分别是四分之三圆弧的水平直径、竖直直径，在A点正上方P点由静止开始释放质量m=1kg的小球，由A点进入光滑竖直轨道（在A点无能量损失）并恰好通过最高点C，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A、P之间的高度h；
（2）小球第一次过D点与过A点的动能之比；
（3）当小球运动到与圆心O的等高点B时加速度的大小．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通过最高点C，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球通过C点的速度．再由机械能守恒定律求A、P之间的高度h；
（2）由机械能守恒定律求出小球第一次过D点与过A点的动能之比．
（3）当小球运动到与圆心O的等高点B时，由机械能守恒定律求出小球经过B点的速度，由向心加速度求出向心加速度，再与竖直分加速度合成求解．

解答 解：（1）小球恰好通过最高点C，由牛顿第二定律得：$mg=\frac{mv_c^2}{R}$…①
AP之间的高度h，由机械能守恒定律得：$mgR+\frac{1}{2}mv_c^2=mgh$…②
由①②得：h=1.5m…③
（2）小球运动到最低的动能E_kD，由机械能守恒定律得：$2mgR+\frac{1}{2}mv_c^2={E_k}_D$…③
小球运动到A点的动能E_kA，由机械能守恒定律得：$mgR+\frac{1}{2}mv_c^2={E_{kA}}$…④
由①③④得，D点的动能与A点的动能之比：$\frac{{{E_{kD}}}}{{{E_{kA}}}}=\frac{5}{3}$…⑤
（3）小球运动到B点时的速度大小，由机械能守恒定律得：$mgR+\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{1}{2}mv_B^2$…⑥
小球运动到B点的向心加速度大小：${a_向}=\frac{v_B^2}{R}$…⑦
小球运动到B点的加速度大小：$a=\sqrt{a_向^2+{g^2}}$…⑧
由①⑥⑦⑧得：$a=10\sqrt{10}m/{s^2}$…⑨
答：
（1）A、P之间的高度h是1.5m；
（2）小球第一次过D点与过A点的动能之比是5：3；
（3）当小球运动到与圆心O的等高点B时加速度的大小是10$\sqrt{10}m/{s}^{2}$．

点评 解决本题的关键知道小球到达C点时轨道对小球没有作用力，运用机械能守恒定律时，要灵活选择研究的过程．运用合成法求小球经过B点时的加速度．