Question

16．如图所示，在平面直角坐标系xOy所在的平面内，有垂直于该平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．在xOy平面内，从坐标原点O沿着与x轴正方向成θ=60°角及x轴正方向先后发射电荷量均为+q、质量均为m、速度大小均为v的两个带电粒子．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．两粒子的运动轨迹除O点之外还有一个交点．
（1）试求出该交点的坐标；
（2）若要求两粒子在该交点刚好相遇，试求出两粒子从O点发射的时间差的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，求出粒子的轨迹方程，然后求出两粒子运动轨迹的交点坐标值．
（2）要使相遇时间最短，需使两粒子第一次经过P点就相遇，根据粒子的做圆周运动的圆心角，结合周期公式求出先发射的粒子和后发射的粒子第一次经过P点的时间，从而得出两粒子从O点发射的时间差的最小值．

解答 解：（1）如图所示是两个粒子的运动轨迹，其中O₁、O₂是两个轨迹圆的圆心，P为两个粒子运动轨迹的交点，设交点坐标为（x，-y），设粒子在磁场中运动的轨道半径为R，
对任一粒子，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得R=$\frac{mv}{qB}$，
由几何关系知，四边形OO₁PO₂是菱形，各边的长度都是半径R，且∠POO₂=30°，
所以OP=$2Rcos30°=\frac{\sqrt{3}mv}{qB}$，
x=$OPsin30°=\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}$，
所以交点坐标为：$（\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}，-\frac{3mv}{2qB}）$．
（2）要使相遇时间最短，需使两粒子第一次经过P点就相遇，设两个粒子在磁场中运动的周期为T，有：
$T=\frac{2πm}{qB}$，
先发射的粒子第一次到达P点所需的时间为：${t}_{1}=\frac{240°}{360°}T=\frac{2}{3}×\frac{2πm}{qB}=\frac{4πm}{3qB}$．
后发射的粒子第一次到达P点所需要的时间为：${t}_{2}=\frac{120°}{360°}T=\frac{1}{3}T=\frac{1}{3}×\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3qB}$．
则时间差的最小值$△t={t}_{1}-{t}_{2}=\frac{2πm}{3qB}$．
答：（1）交点坐标为：$（\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}，-\frac{3mv}{2qB}）$．
（2）两粒子从O点发射的时间差的最小值为$\frac{2πm}{3qB}$．

点评 本题考查了求两粒子运动轨迹交点坐标值，由牛顿第二定律求出力的做圆周运动的轨道半径；粒子在磁场中做匀速圆周运动，求出粒子的轨迹方程，解两轨迹方程组成的方程组即可求出粒子运动轨迹的交点坐标值．