Question

7．如图所示是一个周期性变化的方波电压，其变化周期是T，电压的大小是U．把这个电压加在一对平行金属板上，两板间就形成的电场可视为匀强电场．在两板正中间各有一个小孔A和B．质量为m、带电量为q的粒子从孔A进入平行板之间，重力和初速度可忽略不计，在电场力的作用下，粒子可以从孔B射出．当t=0时有一个上述粒子恰好从孔A进入，从静止开始加速，经过T时间恰好从孔B飞出．

（1）经过$\frac{T}{2}$该粒子的速度是多少？
（2）两板之间的距离d是多大？
（3）如果该粒子是在$\frac{T}{6}$时刻从孔A进入的，则在其出发后第一个周期的时间内粒子通过的位移是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子从t=0时刻进入电场，先匀加速运动后匀减速运动，由动能定理求经过$\frac{T}{2}$时粒子的速度．
（2）由于粒子通过电场的时间为T，根据运动过程的对称性知道前、后半个周期内粒子通过的位移相等，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解d．
（3）如果该粒子是在$\frac{T}{6}$时刻从孔A进入电场，作出v-t图象，分段求出位移，再得到总位移．

解答 解：（1）由动能定理得$\frac{U}{2}q=\frac{1}{2}m{v^2}$，可得经过$\frac{T}{2}$该粒子的速度为：$v=\sqrt{\frac{Uq}{m}}$
（2）在前、后半个周期内粒子的位移为：${s}_{\frac{T}{2}}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{qU}{md}（\frac{T}{2}）^{2}$=$\frac{d}{2}$
得：$d=\sqrt{\frac{{qU{T^2}}}{4m}}=\frac{T}{2}\sqrt{\frac{qU}{m}}$
（3）该粒子在$\frac{T}{6}$时刻从孔A进入，作出v-t图象，
设进入电场后刚开始$\frac{1}{3}$T内粒子的位移s₁′，则有：
$s_1^/=\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}•{（{\frac{T}{3}}）^2}=\frac{{qU{T^2}}}{18md}$=$\frac{T}{9}\sqrt{\frac{qU}{m}}$
设进入电场后刚开始2T/3内粒子的位移为：
s₂′$s_2^/=\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}•{（{\frac{T}{6}}）^2}=\frac{{qU{T^2}}}{72md}$=$\frac{T}{36}\sqrt{\frac{qU}{m}}$
s_T′=2s₁′-2s₂′=2×（$\frac{{qU{T^2}}}{18md}$-$\frac{{qU{T^2}}}{72md}$）=$\frac{{qU{T^2}}}{12md}$=$\frac{T}{6}\sqrt{\frac{qU}{m}}$
答：（1）经过$\frac{T}{2}$该粒子的速度是$\sqrt{\frac{Uq}{m}}$．
（2）两板之间的距离d是$\frac{T}{2}\sqrt{\frac{qU}{m}}$．
（3）如果该粒子是在$\frac{T}{6}$时刻从孔A进入的，则在其出发后第一个周期的时间内粒子通过的位移是$\frac{T}{6}\sqrt{\frac{qU}{m}}$．

点评 本题中粒子在周期性变化的电场中运动，关键是明确粒子的受力情况和运动规律，然后结合牛顿第二定律和运动学公式列式求解，可通过v-t图象分析粒子的运动情况．