Question

17．如图所示，空间存在一个半径为R₀的圆形匀强磁场区域，磁场的方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B．有一个粒子源在纸面内沿各个方向以一定速率发射大量粒子，粒子的质量为m、电荷量为+q．将粒子源置于圆心，则所有粒子刚好都不离开磁场．（不考虑粒子的重力及粒子之间的相互作用）
（1）求带电粒子的速率．
（2）若粒子源可置于磁场中任意位置，且磁场的磁感应强度大小变为$\frac{B}{4}$，求粒子在磁场中最长的运动时间t．
（3）若原磁场不变，再叠加另一个半径为R₁（R₁＞R₀）圆形匀强磁场，磁场的磁感应强度的大小为$\frac{B}{2}$，方向垂直于纸面向外，两磁场区域成同心圆，此时该离子源从圆心出发的粒子都能回到圆心，求R₁的最小值和粒子运动的周期T．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系，结合洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律，即可求解；
（2）由几何关系，可求出运动轨迹的圆心角，根据周期公式，即可求解；
（3）根据矢量法则，可确定磁场方向与大小，再由几何关系，结合周期公式，即可求解．

解答 解：（1）粒子离开出发点最远的距离为轨道半径的2倍，
R₀=2r，
根据qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得v=$\frac{qB{R}_{0}}{2m}$．

（2）磁场的大小变为$\frac{B}{4}$后，粒子的轨道半径为r₁；
${r}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{1}}=\frac{4mv}{qB}$=2R₀．
根据几何关系可以得到，当弦最长时，运动的时间最长，弦为2R₀时最长，圆心角60°
t=$\frac{60°}{360°}T=\frac{4πm}{3qB}$．
（3）根据矢量合成法则，叠加区域的磁场大小为$\frac{B}{2}$，方向向里，
R₀以为的区域磁场大小为$\frac{B}{2}$，方向向外．粒子运动的半径为R₀，
根据对称性画出情境图，由几何关系可得R₁的最小值为$（\sqrt{3}+1）{R}_{0}$，
根据周期公式，则有T=$\frac{（\frac{π}{3}+\frac{5}{6}π）•4m}{\frac{qB}{2}}=\frac{28πm}{3qB}$．    
答：（1）带电粒子的速率为$\frac{qB{R}_{0}}{2m}$．
（2）粒子在磁场中最长的运动时间为$\frac{4πm}{3qB}$；
（3）R₁的最小值为$（\sqrt{3}+1）{R}_{0}$，粒子运动的周期为$\frac{28πm}{3qB}$．

点评 洛伦兹力提供圆周运动向心力，根据轨迹关系求出粒子进入磁场中的速度方向，再根据速度关系求出质子在电场中做何种运动，然后根据运动性质求解．